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Université Henri Poincaré, Nancy 1 (09/05/2011), Oussama Hijazi (Dir.)
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Sous-variétés spéciales des variétés spinorielles complexes
Roger Nakad1

Le sujet principal de cette thèse est d'exploiter les structures Spin$^c$ dans le but d'étudier la géométrie de certaines sous-variétés. Dans un premier temps, nous commençons par établir des résultats de base pour l'opérateur de Dirac Spin$^c$. On donne ainsi des inégalités de type Hijazi en terme du tenseur d'énergie-impulsion. Ce tenseur intervient dans l'étude des variations du spectre de l'opérateur de Dirac et dans les équations de Dirac-Einstein. L'étude des hypersurfaces des variétés Spin$^c$ permet de mieux comprendre ce tenseur puisque ce dernier est le tenseur de Weingarten de l'immersion. Étant des structures naturelles sur les variétés homogènes $E(\kappa, \tau)$ de dimension 3, les structures Spin$^c$ permettent d'aborder des problèmes riemanniens sur les hypersurfaces de ces variétés. En effet, on donne une correspondance de Lawson pour les surfaces à courbure moyenne constante de $E(\kappa, \tau)$. Finalement, on caractérise les structures complexes et CR sur une variété par les structures Spin$^c$ admettant un champ de spineurs spécial appelé un spineur pur ou bien un spineur transversal.
1:  IECN - Institut Elie Cartan Nancy
Géométrie différentielle
géométrie spinorielle complexe – tenseur d'énergie-impulsion – opérateur de Dirac – valeurs propres – hypersurfaces – géométrie extrinsèque – géométrie CR

Special submanifolds of Spin$^c$ manifolds
In this thesis, we aim to make use of Spin$^c$ geometry to study special submanifolds. We start by establishing basic results for the Spin$^c$ Dirac operator. We give then inequalities of Hijazi type involving the energy-momentum tensor. Studying the energy-momentum tensor on a Spin$^c$ manifold is related to several geometric situations. Indeed, it appears in the study of the variations of the spectrum of the Dirac operator and in the Einstein-Dirac equation. The study of hypersurfaces of Spin$^c$ manifolds allows us for a better understanding of this tensor since it is the second fundamental form of the immersion. Being natural structures on the 3-homogeneous manifolds $E(\kappa, \tau)$ , Spin$^c$ structures will be investigated in the study of some Riemannian problems on hypersurfaces of these manifolds. In fact, we prove a Lawson correspondence for constant mean curvature surfaces in $\Ekt$. Finally, we characterize complex structures and CR structures by $\Spinc$ structures admitting a special spinor, called pure spinor or transversal spinor.
complex spin geometry – the energy-momentum tensor – Dirac operator – eigenvalues – hypersurfaces – extrinsic Riemannian geometry – CR geometry

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