Application of algebraic Bethe ansatz and beyond

Applications de l'ansatz de Bethe Algébrique et au-delà

S. Belliard (1)

1 LAPTH - Laboratoire d'Annecy-le-Vieux de Physique Théorique

In this thesis, we will discuss quantum integrable systems and spin chains. We will present the notion of quantum integrability and a related algebraic structure, the quantum group. This study allows us to introduce the " universal " spin chains used by the Annecy group few years ago. These " universal " chains encompass all the spins chains studied in the literature. The purpose of this thesis is to evaluate, with the algebraic Bethe ansatz (ABA), the eigenvalues and eigenvectors of these " universal " spins chains. We will discuss the case of closed and open spin chains. This study will highlight the limit of the ABA for open spins chains and we will present a new mathematical framework that may allow to find the spectral problem in this case. We will also discuss the computation of the scalar product between two eigenvectors obtained with the ABA.

Dans cette thèse, nous discuterons des systèmes intégrables quantiques et des chaînes de spins. Nous présenterons la notion d'intégrabilité quantique ainsi que des structures mathématiques, les groupes quantiques, reliées à cette dernière. Cela nous permettra d'introduire les chaînes de spins " universelles " étudiées par le groupe d'Annecy depuis plusieurs années. Ces chaînes " universelles " ont la particularité d'englober l'ensemble des chaînes de spins préalablement étudiées dans la littérature. La question posée pour cette thèse était d'utiliser l'ansatz de Bethe algébrique pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de ces chaînes de spins " universelles ". Nous discuterons donc cette méthode pour les chaînes de spins périodiques et avec bords. Cette étude mettra en évidence les limites de l'ansatz de Bethe algébrique pour certaines chaînes avec bords et nous présenterons un nouveau cadre mathématique qui permettrait d'obtenir le spectre dans ces cas. Nous discuterons aussi le problème du produit scalaire des vecteurs propres obtenus grâce à l'ansatz de Bethe algébrique.

Keywords: Bethe ansatz; quantum groups; spin chains; spectral problem.

Keywords: ansatz de Bethe; groupes quantiques; chaînes de spins; problème spectral.

Domains: Mathematical Physics [math-ph]

S. Belliard. Applications de l'ansatz de Bethe Algébrique et au-delà. Physique mathématique [math-ph]. Université de Savoie, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00612909⟩