Polya fields, Polya groups and Polya extension: a question of capitulation
Groupes, corps et extensions de Polya : une question de capitulation
Résumé
In this thesis, we focus on the set $Int\left(\mathcal O _K \right)$ of integer-valued polynomials over $\mathcal{O}_K$, the ring of integers of a number field $K$. According to G. Pólya, a basis $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ of the $\mathcal O _K$-module $Int\left(\mathcal O _K \right)$ is said to be regular if for each $n \in \mathbb{N}$, $\deg(f_{n})=n$. A field $K$ such that $Int\left(\mathcal O _K \right)$ has a regular basis is said to be a Pólya field and the Pólya group of number field $K$ is a subgroup of the class group of $K$ which can be considered as a measure of the obstruction for a field being a Pólya field. We study the Pólya group of a compositum $L= K_1 K_2$ of two galoisian extensions $K_1 /\mathbb{Q}$ and $K_2 /\mathbb{Q}$ and we link it to the behaviour of the ramification of primes in $K_1 /\mathbb{Q}$ and $K_2 /\mathbb{Q}$. We apply these results to number fields with small degree in order to enlarge the well known family of quadratic Pólya fields. Furthermore, a field $K$ is a Pólya field if the products of all maximal ideals of $\mathcal{O}_K$ with the same norm are principal. Analogously to the classical embedding problem, we can set the following problem : is every number field contained in a Pólya field? We give a positive answer to this question : for each number field $K$, the Hilbert class field $H_K$ of $K$ is a Pólya field. We know also that every ideal of $\mathcal{O}_K$ becomes principal in $\mathcal{O}_{H_K}$. This leads us to introduce the notion of Pólya extension : it is a field $L$ containing $K$ such that the Pólya group of $K$ becomes trivial by extension of ideals, it is also a field $L$ such that the $\mathcal O _L$-module generated by $Int\left(\mathcal O _K \right)$ has a regular basis. Consequently, $H_K$ is a Pólya extension of $K$ in the general case. Moreover, when $K$ is abelian, capitulation of ambigeous ideals of $K$ proves that the genus field of $K$ is a Pólya extension. This leads us to consider minimality and unicity questions for Pólya fields and Pólya extensions.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'ensemble $Int\left(\mathcal O _K \right)$ des polynômes à valeurs entières sur l'anneau $\mathcal{O}_K$ des entiers d'un corps de nombres $K$. Selon Pólya, une base $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ du $\mathcal O _K$-module $Int\left(\mathcal O _K \right)$ est dite régulière si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\deg(f_{n})=n$. Un corps $K$ tel que $ Int \left(\mathcal{O}_K \right)$ possède une base régulière est dit de Pólya et le groupe de Pólya d'un corps de nombres $K$ est un sous-groupe du groupe de classes de $K$ qui peut être considéré comme une mesure de l'écart pour un corps au fait d'être de Pólya. Nous étudions le groupe de Pólya d'un compositum $L= K_1 K_2$ de corps de nombres galoisiens et établissons des liens avec la ramification des nombres premiers dans chacune des extensions $K_1 /\mathbb{Q}$ et $K_2 /\mathbb{Q}$. Nous appliquons ces résultats aux corps de nombres de petit degré afin d'élargir la famille des corps de Pólya quadratiques déjà caractérisés. Par ailleurs, une condition pour qu'un corps de nombres $K$ soit de Pólya est que tous les produits d'idéaux de $K$ de même norme soient principaux. Par analogie avec le problème classique du plongement, on peut se poser la question suivante : tout corps de nombres $K$ peut-il être plongé dans un corps de Pólya? Nous donnons une réponse positive à cette question : pour tout corps $K$, le corps de classes de Hilbert $H_K$ de $K$ est un corps de Pólya . Toujours par analogie avec le problème de plongement où l'on sait que les idéaux de $\mathcal{O}_K$ deviennent principaux dans $\mathcal{O}_{H_K}$, on peut définir la notion d'extension de Pólya d'un corps $K$ : il s'agit de corps $L$ contenant $K$ dans lesquels le groupe de Pólya de $K$ devient trivial par extensions des idéaux, ce sont aussi des corps $L$ tels que le $\mathcal O _L$-module engendré par $Int\left(\mathcal O _K \right)$ possède une base régulière. Outre $H_K$ dans le cas général, dans le cas où $K$ est une extension abélienne, la capitulation des idéaux ambiges de $K$ montre que le corps de genre de $K$ en est une extension de Pólya. Ceci nous amène à des questions de minimalité et d'unicité concernant les corps et extensions de Pólya.
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