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Université Nice Sophia Antipolis (12/07/2011), André Galligo (Dir.)
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Représentation matricielle implicite de courbes et surfaces algébriques et applications
Thang Luu Ba1, 2

Dans cette thèse, nous introduisons et étudions une nouvelle représentation implicite des hypersurfaces rationelles et des courbes rationnelles plongées dans un espace projectif de dimension arbitraire. Nous illustrons les avantages de cette représentation matricielle en abordant plusieurs problèmes importants intervenant en conception géométriqueassistée par ordinateur: les problèmes d'intersection entre deux courbes, entre une courbe et une surface ou bien encore entre deux surfaces, le problème d'appartenance d'un point à une courbe ou une surface, le problème du calcul de la pré-image d'un point donné par une paramétrisation et enfin le problème du calcul des singularités d'une courbe rationnelle. L'approche développée dans ce travail de thèse est basée sur la combinaison de méthodes symboliques et numériques. En effet, un première étape symbolique consiste à transformer le problème considérer en un pinceau de matrices. La deuxième étape consiste alors à calculer les valeurs propres généralisées de ce pinceau à l'aide de méthodes numériques. Pour cela, un algorithme d'extraction de la partie régulière d'un pinceau univarié, respectivement bivarié, de matrices non carrées est présenté. Une implémentation de ces travaux dans les systèmes de calcul formel Mathemagix et Maple est présentée en appendice. Le dernier chapitre est conscré à un algorithme qui, étant donné un ensemble de polynômes univariés f1 , ..., fs construit un ensemble de polynômes u1 , ..., us dont les degrés sont prescrits, tels que le degré du pgcd(f1 + u1 , ..., fs + us ) est supérieur ou égal à un entier donné sous des hypothèses de généricité.
1:  INRIA Sophia Antipolis - GALAAD
2:  JAD - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
$\mu$-base – l'élimination – représentations matricielles – problèmes d'intersection – singularités – implicitation – pinceau de matrices – formes de Kronecker – idéal initial générique – PGCD de polyn\^{o}mes – suite normale des degrés – bases de Gr\"{o}bner.

Matrix-based implicit representations of algebraic curves and surfaces and applications
In this thesis, we introduce and study a new implicit representation of rational curves of arbitrary dimensions and propose an implicit representation of rational hypersurfaces. Then, we illustrate the advantages of this matrix representation by addressing several important problems of Computer Aided Geometric Design (CAGD): The curve/curve,curve/surface and surface/surface intersection problems, the point-on-curve and inversion problems, the computation of singularities of rational curves. We also develop some symbolic/numeric algorithms to manipulate these new representations for example: the algorithm for extracting the regular part of a non square pencil of univariate polynomial matrices and bivariate polynomial matrices. In the appendix of this thesis work we present an implementation of these methods in the computer algebra systems Mathemagix and Maple. In the last chapter, we describe an algorithm which, given a set of univariate polynomials f1 , ..., fs returns a set of polynomials u1 , ..., us with prescribed degree-bounds such that the degree of gcd(f1 + u1 , ..., fs + us ) is bounded below by a given degree assuming some genericity hypothesis.
$\mu$-basis – elimination – matrix representations – intersection problems – singularities – implicitation – pencils matrices – Kronecker form – generic initial ideal – GCD of univariate polynomials – normal degree sequence – Gr\"{o}bner basis.

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