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Université Paul Sabatier - Toulouse III Faculté des Sciences de Sfax (22/12/2006), Lubomir Gavrilov et Mohamed Ali Hammami (Dir.)
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Sur les déformations isomonodromiques et la stabilité des équations différentielles
Bassem Ben Hamed1, 2

Les activités de recherches menées dans le cadre de cette thèse sont divisées en deux parties: Dans la première partie de cette thèse, nous allons présenter un cas particulier du problème de classification des solutions algébriques de l'équation de Painlevé 6. Ce cas simple se produit quand une solution algébrique donnée satisfait chaque membre d'une famille non-triviale d'équations. Une telle famille non-triviale d'équations contenant au moins deux éléments distincts satisfait toute la famille correspondante à la droite affine contenant ces deux éléments. Ainsi, toute famille non-triviale définie comme précédent, correspondant à un plan affine de l'espace des paramètres. Dans cette partie, nous donnons une classification de tous ces espaces affines avec leurs solutions algébriques associées. La preuve du théorème n'utilise pas la notion d'équations de Picard-Fuchs. On pourra constater que les solutions coïncident avec les solutions obtenues récemment par Doran qui a utilisé des déformations des surfaces elliptiques avec quatres fibres singulières et leurs équations de Picard-Fuchs associées. Dans la suite, on va essayer de donner une explication partielle de cette coïncidence. Rappelons que chaque solution d'une équation de Painlevé 6 donnée est gouvernée par une déformation isomonodromique d'un système Fuchsian approprié possédant quatre points singuliers. Nous disons qu'une telle déformation est géométrique si le système fondamental de solutions est entièrement constituté d'intégrales Abéliennes, qui dépendent algébriquement du paramètre de déformation. Une déformation géométrique d'un système Fuchsien est isomonodormique et définit une solution algébrique d'une équation de Painlevé 6 appropriée. Quand ceci est vrai, nous disons que la solution algébrique de l'équation de Painlevé 6 est d'origine géométrique. Nous montrons que lorsque une solution satisfait une famille d'équations de Painlevé 6, alors ils existent aux moins deux autres familles d'équations de Painlevé 6, telles que cette solution soient d'origine géométrique pour les deux familles. Dans le deuxième partie, on va présenter quelques définitions et notions de base sur les systèmes à retard. Le modèle choisi sera présenté, ainsi que l'existence et l'unicité des solutions pour les équations différentielles fonctionnelles (EDFR) associées. On introduit les méthodes des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii et de fonction de Razumikhin, qui donnent des conditions suffisantes pour assurer la stabilité de ces systèmes à retard. Puis, on considère des classes de systèmes incertains à retard dans l'état et dans la commande. En utilisant des techniques de Lyapunov, on propose des classes de contrôleurs continus, qui assurent la stabilité globale uniforme exponentielle de ces systèmes en boucle fermée, en imposant quelques conditions assorties sur les incertitudes. La fonction de Laypunov quadratique du système nominal stable (c'est-à-dire, le système assosié en l'absence des incertitudes et du retard) est utilisé comme fonction de Lyapunov candidate du système global. Puis, on va étudier la stabilité absolue d'une classe de systèmes à retard de type de Lurie. Cette classe est présentée comme une interconnexion du feedback d'un système dynamique linéaire et d'une non-linéarité staisfaisant la condition du secteur. En utilisant quelques inégalités intégrales, on obtient une nouvelle condition suffisante de stabilité absolue présentée sous forme d'inégalités matricielles linéaires (LMI). Cette condition améliore celle donnée par Han. Par la suite, on utilisera cette nouvelle condition pour construire un contrôleur basé sur un observateur dépendant du retard, tel que le système erreur soit présenté comme une interconnexion du feedback d'un système linéaire et d'une non-linéarité multiple dépendante aussi du retard et satisfaisant la condition du secteur. Dans la conception de l'observateur, on va étendre les travaux d'Arcak, Kokotovic et Fan dans le cas sans retard.
1:  LSCS - Laboratoire Stabilité et Contrôle des Systèmes
2:  LEP - Laboratoire Émile Picard
Equation de Painlevé 6 – solutions algébriques – systèmes fuchsiens – monodromie – déformations isomonodromiques – systèmes dynamiques à retard – stabilité de Lyapunov – stabilisation.

Les activités de recherches menées dans le cadre de cette thèse sont divisées en deux parties: Dans la première partie de cette thèse, nous allons présenter un cas particulier du problème de classification des solutions algébriques de l'équation de Painlevé 6. Ce cas simple se produit quand une solution algébrique donnée satisfait chaque membre d'une famille non-triviale d'équations. Une telle famille non-triviale d'équations contenant au moins deux éléments distincts satisfait toute la famille correspondante à la droite affine contenant ces deux éléments. Ainsi, toute famille non-triviale définie comme précédent, correspondant à un plan affine de l'espace des paramètres. Dans cette partie, nous donnons une classification de tous ces espaces affines avec leurs solutions algébriques associées. La preuve du théorème n'utilise pas la notion d'équations de Picard-Fuchs. On pourra constater que les solutions coïncident avec les solutions obtenues récemment par Doran qui a utilisé des déformations des surfaces elliptiques avec quatres fibres singulières et leurs équations de Picard-Fuchs associées. Dans la suite, on va essayer de donner une explication partielle de cette coïncidence. Rappelons que chaque solution d'une équation de Painlevé 6 donnée est gouvernée par une déformation isomonodromique d'un système Fuchsian approprié possédant quatre points singuliers. Nous disons qu'une telle déformation est géométrique si le système fondamental de solutions est entièrement constituté d'intégrales Abéliennes, qui dépendent algébriquement du paramètre de déformation. Une déformation géométrique d'un système Fuchsien est isomonodormique et définit une solution algébrique d'une équation de Painlevé 6 appropriée. Quand ceci est vrai, nous disons que la solution algébrique de l'équation de Painlevé 6 est d'origine géométrique. Nous montrons que lorsque une solution satisfait une famille d'équations de Painlevé 6, alors ils existent aux moins deux autres familles d'équations de Painlevé 6, telles que cette solution soient d'origine géométrique pour les deux familles. Dans le deuxième partie, on va présenter quelques définitions et notions de base sur les systèmes à retard. Le modèle choisi sera présenté, ainsi que l'existence et l'unicité des solutions pour les équations différentielles fonctionnelles (EDFR) associées. On introduit les méthodes des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii et de fonction de Razumikhin, qui donnent des conditions suffisantes pour assurer la stabilité de ces systèmes à retard. Puis, on considère des classes de systèmes incertains à retard dans l'état et dans la commande. En utilisant des techniques de Lyapunov, on propose des classes de contrôleurs continus, qui assurent la stabilité globale uniforme exponentielle de ces systèmes en boucle fermée, en imposant quelques conditions assorties sur les incertitudes. La fonction de Laypunov quadratique du système nominal stable (c'est-à-dire, le système assosié en l'absence des incertitudes et du retard) est utilisé comme fonction de Lyapunov candidate du système global. Puis, on va étudier la stabilité absolue d'une classe de systèmes à retard de type de Lurie. Cette classe est présentée comme une interconnexion du feedback d'un système dynamique linéaire et d'une non-linéarité staisfaisant la condition du secteur. En utilisant quelques inégalités intégrales, on obtient une nouvelle condition suffisante de stabilité absolue présentée sous forme d'inégalités matricielles linéaires (LMI). Cette condition améliore celle donnée par Han. Par la suite, on utilisera cette nouvelle condition pour construire un contrôleur basé sur un observateur dépendant du retard, tel que le système erreur soit présenté comme une interconnexion du feedback d'un système linéaire et d'une non-linéarité multiple dépendante aussi du retard et satisfaisant la condition du secteur. Dans la conception de l'observateur, on va étendre les travaux d'Arcak, Kokotovic et Fan dans le cas sans retard.

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