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École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan (28/02/2011), Laurent Desvillettes (Dir.)
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Champmartin2011.pdf(10.4 MB)
Modélisation et étude numérique d'écoulements diphasiques : Modélisation d'un écoulement homogène équilibré : Modélisation des collisions entre gouttelettes à l'aide d'un modèle simplifié de type BGK
Aude Champmartin1

Cette thèse décrit la modélisation et la simulation de systèmes à deux phases composées de particules évoluant dans un gaz. Les deux phases interagissent entre elles et le type de modèle à considérer dépend directement du type de simulations envisagées. Dans une première partie, les deux phases sont considérées comme des fluides, elles sont décrites à l'aide d'un modèle de mélange avec une relation de dérive (permettant de suivre une vitesse relative entre les deux phases et de prendre en compte deux vitesses) et sont supposées à l'équilibre en température et pression. Cette partie du manuscrit est composée de la dérivation des équations, de l'écriture d'un schéma numérique associé à ce jeu d'équations, d'une étude d'ordre de ce schéma ainsi que de simulations. Une étude mathématique de ce modèle (hyperbolicité dans un cadre simplifié, stabilité du système linéaire autour d'un état constant) a été réalisée dans un cadre o'u le gaz est supposé barotrope. La seconde partie de ce manuscrit est consacrée à la modélisation de l'effet de collisions inélastiques sur les gouttelettes lorsque l'on se place à un temps de simulation beaucoup plus court, pour lequel les gouttelettes ne peuvent plus être vues comme un fluide. Pour modéliser ces collisions, on construit un modèle simplifié (moins coûteux en temps) de type BGK permettant de reproduire le comportement en temps de certains moments sur les gouttelettes. Ces moments sont choisis pour être représentatifs de l'effet des collisions sur ces gouttelettes, à savoir une thermalisation en vitesse et énergie. Ce modèle est discrétisé avec une méthode particulaire et des résultats numériques sont donnés en comparaison avec ceux obtenus avec un modèle résolvant directement l'équation de Boltzmann homogène.
1:  LSV - Laboratoire Spécification et Vérification [Cachan]
Systèmes à deux phases – Modèle de mélange – Relation de Drift – Collisions inélastiques – Terme BGK – Modèle simplifié – Étude d'ordre de schéma – Hyperbolicité

Modeling and numerical study of two phases flow
This thesis describes the modelisation and the simulation of two-phase systems composed of droplets moving in a gas. The two phases interact with each other and the type of model to consider directly depends on the type of simulations targeted. In the first part, the two phases are considered as fluid and are described using a mixture model with a drift relation (to be able to follow the relative velocity between the two phases and take into account two velocities), the two-phase flows are assumed at the equilibrium in temperature and pressure. This part of the manuscript consists of the derivation of the equations, writing a numerical scheme associated with this set of equations, a study of this scheme and simulations. A mathematical study of this model (hyperbolicity in a simplified framework, linear stability analysis of the system around a steady state) was conducted in a frame where the gas is assumed barotropic. The second part is devoted to the modelisation of the effect of inelastic collisions on the particles when the time of the simulation is shorter and the droplets can no longer be seen as a fluid. We introduce a model of inelastic collisions for droplets in a spray, leading to a specific Boltzmann kernel. Then, we build caricatures of this kernel of BGK type, in which the behavior of the first moments of the solution of the Boltzmann equation (that is mass, momentum, directional temperatures, variance of the internal energy) are mimicked. The quality of these caricatures is tested numerically at the end.
Bifluid system – Mixture model – Drift relation – Inelastic collisions – BGK term – Simplified model – Order of scheme study – Hyperbolicity

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