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Université de Grenoble (06/05/2011), Thierry DUFFAR (Dir.)
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Etudes analytiques et numériques du procédé de Bridgman démouillage: capillarité, transfert de chaleur et stabilité
Simona-Mihaela Epure1

L'objectif principal de cette thèse est de réaliser des études analytiques et numériques pour des problèmes de capillarité, de transfert de chaleur et de stabilité du procédé Bridgman démouillage. Pour le calcul de la forme du ménisque, sa surface sera donnée par l'équation de Young-Laplace décrivant l'équilibre sous la pression. Cette équation sera transformée en un système non linéaire d'équations différentielles. A partir d'études qualitatives et quantitatives de la solution, la dépendance de la forme du ménisque (convexe, concave, convexe-concave), de la différence de pression et d'autres paramètres du procédé, sera déterminée. Pour étudier la stabilité dynamique du système, l'épaisseur de l'espacement cristal-creuset et la position de l'interface liquide-solide sont des variables du problème et donc deux équations seront nécessaires, précisément, l'équation de Young-Laplace et le bilan thermique à l'interface liquide-solide. Par conséquence, ce travail est organisé comme suit: Des contributions récentes à la modélisation de certains problèmes de capillarité sont présentées dans le deuxième chapitre, à commencer par la formulation mathématique du problème capillaire régie par l'équation de Young-Laplace. Des études analytiques et numériques pour l'équation du ménisque sont élaborées pour le démouillage en microgravité et sur terre. Le troisième chapitre traite des contributions à la modélisation des problèmes de transfert de chaleur. Ainsi, les études analytiques et numériques pour l'équation non stationnaire de transfert de chaleur à une dimension sont effectuées afin de trouver des expressions analytiques de la distribution de la température et des gradients de température dans le liquide et dans le solide. L'équation de déplacement de l'interface liquide-solide est également obtenue du bilan énergétique à l'interface. Après quoi, l'effet de l'espacement cristal-creuset sur la courbure de l'interface liquide-solide est étudié pour un ensemble de paramètres représentatifs non-dimensionnels de la croissance de cristaux semi-conducteurs classiques. Une expression analytique pour la déflexion de l'interface, basée sur la théorie du flux de chaleur est rapportée. Afin de vérifier l'exactitude de la formule obtenue analytiquement et d'identifier ses limites de validité, l'équation de transfert de chaleur est résolue numériquement dans une symétrie axiale en 2D, pour un cas stationnaire et en utilisant le code d'éléments finis COMSOL Multiphysics 3.3. Le dernier chapitre est entièrement consacré à l'analyse de la stabilité. Tout d'abord, différents concepts de stabilité de Lyapunov qui peuvent survenir dans la croissance des cristaux: classique, uniforme, asymptotique et exponentielle d'un état d'équilibre; stabilité partielle de Lyapunov d'un état d'équilibre, et les mêmes types de stabilités de Lyapunov pour la solution temporelle sont présentés. Dans ce qui suit, après l'introduction de la notion de stabilité pratique sur une période de temps limitée, des études analytiques et numériques de la stabilité pratique sur une période de temps limitée du système non linéaire, des équations différentielles décrivant le déplacement d'interface liquide-solide et l'évolution de l'espacement cristal-creuset, pour des cristaux élaborés par le procédé Bridgman démouillage sous conditions terrestres sont développés. Enfin, les conclusions générales et perspectives de ce travail sont exposées.
1:  SIMaP - Science et Ingénierie des Matériaux et Procédés
Forme du ménisque (Simulation numérique) – Stabilité – Bridgman démouillage (croissance cristalline)

Analytical and Numerical Studies of the Dewetted Bridgman Process: Capillarity, Heat Transfer and Stability
The phenomenon of dewetting is characterized by the Vertical Bridgman growth of a crystal without contact with the walls of the crucible due to the existence of a liquid meniscus at the level of the solid-liquid interface which creates a gap between the crystal and the inner crucible walls. One of the immediate consequences of this phenomenon is the drastic improvement of the crystal quality. This improvement is essentially related to the absence of wall-crystal interaction, so that no grain or twin spurious nucleation can occur and no differential dilatation stresses exist, which could generate dislocations. In order to bring crucial information concerning dewetted phenomenon, detailed theoretical results and numerical simulations are necessary, on the basis of the mathematical models able to reflect better the real phenomenon which should include all essential processes appearing during the growth. The main problem of the dewetting growth and the related improvements of the material quality is the stability of the growth process. In this context, the main purpose of the present work is to perform analytical and numerical studies for capillarity, heat transfer and stability problems of the dewetted Bridgman process. Firstly, the mathematical formulation of the capillary problem governed by the Young-Laplace equation has been presented, followed by analytical and numerical studies for the meniscus equation for the cases of zero and normal terrestrial gravity. Secondly, the heat transfer problems have been treated. Thus, in order to find analytical expressions of the temperature distribution and the temperature gradients in the melt and in the solid, analytical and numerical studies for the non-stationary one-dimensional heat transfer equation have been performed. The melt-solid interface displacement equation was also derived from the thermal energy balance at the level of the interface. Further, for studying the effect of the crystal-crucible gap on the curvature of the solid-liquid interface for a set of non-dimensional parameters representative of classical semiconductor crystal growth, an analytical expression for the interface deflection, based on simple heat fluxes arguments was found. In order to check the accuracy of the obtained analytical formula and to identify its limits of validity, the heat transfer equation was solved numerically in 2D axial symmetry, stationary case, using the finite elements code COMSOL Multiphysics 3.3. Further, the stability analysis has been developed. Different concepts of Lyapunov stability which can occur in shaped crystal growth: classical, uniform, asymptotic, and exponential Lyapunov stabilities of a steady-state; partial Lyapunov stability of a steady-state; and the same types of Lyapunov stabilities for time-dependent regimes, have been presented. In what follows, after the concept of practical stability over a bounded time period has been introduced, analytical and numerical investigations of the practical stability over a bounded time period of the nonlinear system of differential equations describing the melt-solid interface displacement and the gap thickness evolution for dewetted Bridgman crystals grown in terrestrial conditions have been performed.
Meniscus shape (Numerical simulation) – Stability – Dewetted Bridgman (Crystal growth)

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