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Université d'Angers (01/07/2010), Lioudmila Vostrikova (Dir.)
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Modèles de Lévy exponentiels en finance : mesures de f-divergence minimale et modèles avec change-point
Suzanne Cawston1

Cette thèse est consacrée à l'étude de modèles de Lévy exponentiels en finance, et en particulier : 1. aux propriétés de continuité de prix d'options en fonction des paramètres de processus de Lévy, 2. à la préservation de la propriété de Lévy lors du passage à une mesure martingale de f-divergence minimale, 3. à l'étude de modèles de type change-point, obtenus par recollement à un instant aléatoire de deux exponentielles de processus de Lévy. Pour l'étude de la continuité, on obtient d'abord des résultats de convergence pour les processus de Lévy sous les mesures martingales et on en déduit par la factorisation de Wiener-Hopf la convergence de nombreux prix d'options. On donne ensuite des résultats de continuité de prix sous différentes mesures martingales minimisant des f-divergences. Il a été remarqué que la préservation de la propriété de Lévy a lieu pour toute f-divergence dont la dérivée seconde est une fonction puissante. On montre que sous certaines conditions sur les paramètres des processus de Lévy, la préservation n'a lieu que pour des f-divergences classiques. La dualité entre maximisation d'utilité et minimisation de f-divergence nous permet alors d'obtenir une formule générale pour certaines stratégies optimales. Pour les modèles de type change-point, on décrit la forme des mesures martingales de f-divergence minimale en explicitant le lien avec les mesures minimales associés aux deux processus de Lévy sous-jacents. On donne également la forme de stratégies optimales liées à la maximisation d'utilité.
1:  LAREMA - Laboratoire Angevin de REcherche en MAthématiques
modèles de Lévy exponentiels – f-divergence – stratégies optimales – change-point

Exponential Levy models in finance : f-divergence minimal measures and change-point models
In this thesis, we study various aspects of exponential Levy models in finance, and in particular : 1. continuity properties for option prices as functions of the Levy process's parameters, 2. the preservation of theLevy property under f-divergence minimal martingale measures, 3. change-point models, obtained by switching from the exponential of one Levy process to another at a random time. In order to obtain continuity properties, we first give convergence results for Levy processes under martingale measures. The convergence of a number of option prices then follows from the Wiener-Hopf factorisation. We also give some continuity results for option prices under various f-divergence minimal martingale measures. It has been noted that the Levy property is preserved by all minimal measures associated with an f-divergence whose second derivative is a power function. We show that under some conditions on the parameters of the Levy process, this preservation property only holds for these classical f-divergences. The duality between utility maximisation and f-divergence minimisation then enables us to obtain a general formula for some optimal strategies. In our study of change-point models, we describe the form of f-minimal martingale measures, in particular in relation to the minimal measures associated with the two underlying Levy processes. We also give an expression of some utility maximising optimal strategies.

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