Algorithms for lacunary polynomials
Algorithmes pour les polynômes lacunaires
Résumé
The aim of this thesis is to use some results from Diophantine geometry and from algebraic geometry to obtain applications to the the factorization of lacunary polynomials. In the first part, we describe an algorithm which computes a representation of the torsion points of a subvariety of Gn m defined by lacunary polynomials. The complexity of this algorithm is quasi-linear in the logarithm of the degree of the polynomials defining the subvariety. In the second part, we focus on systems of three lacunary polynomial equations in two variables. We describe an algorithm that computes a representation of the common zeroes of those polynomials as a finite union of complete intersections outside an open subset of A2. The complexity of this algorithm is quasi-linear in the logarithm of the degree of the input polynomials. However this algorithm depends on the conjecture of Zilber which is still an open problem.
Le but de cette thèse est d'utiliser plusieurs résultats profonds de géométrie diophantienne et de géométrie algébrique pour obtenir des applications à la factorisation des polynômes lacunaires. Dans la première partie, on décrit un algorithme qui détermine une représentation des points de torsion d'une sous-variété de Gn m définie par des polynômes lacunaires. La complexité de cet algorithme est quasilinéaire en le logarithme du degré des polynômes définissant cette sous-variété. Dans la seconde partie, on s'intéresse à des systèmes surdéterminés d'équations polynomiales. On décrit un algorithme qui permet d'écrire les zéros communs de trois polynômes à deux variables comme une réunion finie d'intersections complètes en dehors d'un ouvert de A2. La complexité de cet algorithme est encore quasi-linéaire en le logarithme du degré des polynômes en entrée mais cet algorithme dépend de la validité de la conjecture de Zilber qui est encore à ce jour un problème ouvert.
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