Degeneration and extremal problems for eigenvalues of the Laplacian on surfaces
Dégénérescence et problèmes extrémaux pour les valeurs propres du laplaciens sur les surfaces
Résumé
The main topic of the present thesis is spectral geometry of surfaces. The spectrum of a closed surface (Σ, g) is a sequence of numbers 0 = λ0 < λ1 (g) ≤ λ2 (g) ≤ · · · called the eigenvalues. From the viewpoint of the theory of sound, each eigenvalue represents a frequency of vibration of the surface. We study the dependence of the eigenvalues on the geometric properties of the surface. This is a classical subject in spectral geometry, originated in the works of Lord Rayleigh [51], Faber [17], Krahn [32, 33], Pólya [49, 48], Szegö [54], Hersch [27], and many others. This thesis is a collection of three papers. The first one [23], "Fundamental tone, concentration of density to points and conformal degeneration on surfaces", is presented in Chapter 1. The influence on the fundamental tone (i.e., the first positive eigenvalue of the Laplacian) of two types of degeneration is studied : concentration of mass on any surface, and conformal degeneration on the torus and on the Klein bottle. In both cases, I prove that in the limit the fundamental tone is bounded above by the fundamental tone of a round sphere of the same area. The second paper [24] presented in the thesis is a joint work with Nikolai Nadirashvili and Iosif Polterovich. It is entitled "Maximization of the second positive Neumann eigenvalue for planar domains". The Neumann spectrum of a planar domain Ω ⊂ R2 is a sequence of numbers 0 = μ0 < μ1 (Ω) ≤ μ2 (Ω) ≤ · · ·. A classical result due to G. Szegö states that for each simply connected regular planar domain Ω, μ1 (Ω) Area(Ω) ≤ μ1 (D)π where D is the unit disk. The main result of the paper is a sharp upper bound on the second eigenvalue : μ2 (Ω) Area(Ω) ≤ 2 μ1 (D) π. This bound is attained in the limit by a family of domains degenerating to a disjoint union of two identical disks. In particular, this result implies the Pólya conjecture for μ2 . Our approach is based on a combination of analytic and topological arguments. A similar method leads to an upper bound on the second eigenvalue for conformally round spheres of odd dimension. The subject of the third paper Relative Homological Linking in Critical Point Theory [22] is not directly related to spectral geometry. It is an extension of my M.Sc. thesis written under the direction of Marlène Frigon. A homological linking for a pair of subspaces is introduced. It is used in combination with elementary Morse theory to detect the critical points of a functional. In particular, it is proved that homological linking implies homotopical linking.
Le sujet principal de cette thèse est la géométrie spectrale des surfaces. Le spectre d'une surface riemannienne fermée (Σ, g) est une suite de nombres 0 = λ0 < λ1 (g) ≤ λ2 (g) ≤ · · · ∞ représentant les modes de vibrations purs de cette surface. On étudie l'influence de la géométrie sur le spectre. Ce sujet est classique, il fut initié par Lord Rayleigh [51], Faber [17], Krahn [32, 33], Pólya [49, 48], Szegö [54], Hersch [27] et plusieurs autres mathématiciens. Cette thèse est composée de trois articles. Le premier [23], intitulé "Fundamental tone, concentration of density to points and conformal degeneration on surfaces", est présenté au Chapitre 1. L'influence sur le ton fondamental (c'est-à-dire la première valeur propre positive du laplacien λ1 (g) > 0) de deux types de dégénérescence y est étudiée : la concentration vers un point et la dégénérescence conforme sur le tore et la bouteille de Klein. Pour ces deux types de dégénérescence, j'ai montré que si une suite de métriques (gn ) d'aire fixée est dégénérée, le ton fondamental sera asymptotiquement borné supérieurement par le ton fondamental d'une sphère ronde de même aire. Le deuxième article [24] de cette thèse est le fruit d'une collaboration avec Iosif Polterovich et Nikolai Nadirashvili. Son titre est "Maximization of the second positive Neumann eigenvalue for planar domains". Le spectre de Neumann d'un domaine planaire Ω ⊂ R2 est aussi une suite 0 = μ0 < μ1 (Ω) ≤ μ2 (Ω) ≤ · · · . Un résultat classique de G. Szegö affirme pour chaque domaine planaire simplement connexe régulier que μ1 (Ω) aire(Ω) ≤ μ1 (D)π où D est le disque unité. Le résultat principal de cet article est une borne supérieure sur la deuxième valeur propre : μ2 (Ω) aire(Ω) ≤ 2 μ1 (D) π. Cette borne est atteinte par une famille de domaines dégénérant vers l'union disjointe de deux disques identiques. Ce résultat confirme la conjecture de Pólya pour μ2 . La preuve de ce théorème repose sur un argument topologique permettant de garantir l'existence d'une famille de fonctions tests appropriée. Par une méthode très similaire, nous avons obtenu une borne supérieure sur la deuxième valeur propre conforme de la classe conforme standard sur des sphères de dimension impaire. Le troisième article [22] présenté s'intitule "Relative Homological Linking in Critical Point Theory". Son sujet n'est pas directement lié à la géométrie spectrale. Il s'agit d'une extension du travail entrepris lors de ma maîtrise, sous la direction de Marlène Frigon. J'y ai introduit un outil, l'enlacement homologique relatif, permettant de détecter les points critiques d'une fonction à l'aide de la topologie de ses ensembles de niveaux. J'y montre en particulier que l'enlacement homologique implique l'enlacement homotopique.
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