Homogenization and correctors for some hyperbolic problems
Homogénéisation et correcteurs pour quelques problèmes hyperboliques
Résumé
In this thesis, we are concerned with some convergence and corrector results for hyperbolics problems in heterogeneous media with mixed boundary conditions. This kind of problems models waves spread in heterogeneous media. In the first Chapter, we recall some results of the asymptotic study of problems posed in a heterogeneous media. In the second Chapter, we consider the wave equation in a perforated domain not necessarily periodic. We suppose a hypothesis of H^0-convergence of the elliptic part of the operator. This notion has been introduced by M. Briane, A Damlamian et P. Donato and it generalizes the notion of H-convergence introduced some years before by F. Murat and L.Tartar to perforated domains. We prove two main results, the first one is a homogenization result and the second one is a corrector result which improves the convergence of the solution of the problem under some more restrictive assumptions on the data. To do so, we use the corrector introduced by G. Cardone, P. Donato et A. Gaudiello and we show some of his properties. In the third Chapter, we consider a nonlinear wave equation posed in a periodic perforated domain where the nonlinearity concerns the time derivative of the solution. We suppose that the nonlinearity is bounded above by a monotonous polynomial function which exponent permits to have a suitable Sobolev injection. We study first the existence and the uniqueness for the solution with a Galerkin method, then we check a homogenization result for this problem. In the fourth Chapter, we study the wave equation in a non perforated domain. In a first time, we find again the classical result of homogenization using the method of periodical unfolding introduced by D. Cioranescu, A. Damlamian et G. Griso. Then, under more stronger assumptions on the data, we show a corrector result involving the averaging operator which is the adjoint of the unfolding operator.
Les travaux présentés dans cette thèse concernent des résultats d'homogénéisation et de correcteur pour des problèmes hyperboliques dans des milieux hétérogènes avec des conditions aux bords mixtes. Les problèmes de ce type modélisent la propagation des ondes dans des milieux hétérogènes. Dans le premier chapitre on rappelle une partie de l'ensemble des outils permettant l'étude asymptotique de problèmes posés dans un milieu hétérogène. Le second chapitre est consacré à l'étude de l'équation des ondes dans un domaine perforé de façon non périodique. Pour cela, on effectue une hypothèse de H^0-convergence sur la partie elliptique de l'opérateur. Cette notion introduite par M. Briane, A. Damlamian et P. Donato généralise la notion de H-convergence introduite quelques années auparavant par F. Murat et L. Tartar pour des domaines perforés. On démontre deux résultats principaux, un résultat d'homogénéisation et un second de correcteur qui permet d'améliorer la convergence de la solution du problème sous des hypothèses légèrement plus fortes. Pour cela on reprend le correcteur de G. Cardone, P. Donato et A. Gaudiello et on explicite quelques unes de ces propriétés. Dans le troisième chapitre, on considère une équation des ondes non-linéaire posée dans un domaine périodiquement perforé dont la non-linéarité porte sur la dérivée en temps de la solution. On suppose que la non-linéarité est majorée par une fonction polynomiale monotone dont l'exposant permet d'avoir une injection de Sobolev convenable. On étudie d'abord l'existence et l'unicité de la solution de ce problème à l'aide d'une méthode de Galerkin, puis on montre un résultat d'homogénéisation de ce problème. Dans le quatrième chapitre, on étudie le problème de l'équation des ondes dans un domaine non perforé. Dans un premier temps, on retrouve le résultat classique d'homogénéisation en utilisant la méthode de l'éclatement périodique introduite par D. Cioranescu, A. Damlamian et G. Griso. Ensuite, sous des hypothèses un peu plus fortes des données initiales on montre un résultat de correcteur faisant intervenir l'opérateur de moyennisation qui est l'adjoint de l'opérateur d'éclatement.
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