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INSA de Rennes (14/10/2010), Aziz Belmiloudi (Dir.)
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Solidification Dendritique de Mélanges Binaires de Métaux sous l'Action de Champs Magnétique: Modélisation, Analyse Mathématique et Numérique
Amer Rasheed1

La compréhension du comportement des matériaux en présence d'impuretés, durant le processus de solidification, nécessite le développement de méthodologies appropriées pour une analyse et un contrôle efficace des changements topologiques des microstructures (par exemple, la formation des dendrites) au cours des différentes phases de transformation. L'objectif de cette thèse est de construire un modèle pertinent de solidification d'alliages binaires sous l'action de champs magnétiques, d'analyser les systèmes issus du modèle mathématique ainsi développé, d'un point de vue théorique et numérique, et enfin de développer une méthode de contrôle optimal afin de contrôler la dynamique du front de solidification par l'action du champs magnétiques. Dans un premier temps, nous avons décrit la physique du problème et les lois fondamentales nécessaires à la modélisation, puis nous avons construit un nouveau modèle de champ de phase, qui tient compte de l'influence de l'action du champ magnétique sur le mouvement du front de solidification. Le modèle ainsi développé est caractérisé par le couplage de trois systèmes : un de type magnétohydrodynamique, un second de type Warren-Boettingger avec convection (représentant l'évolution du front de solidification et la concentration du mélange binaire) et un troisième représentant l'évolution de la température. Les équations du système complet décrivant le modèle, dans un domaine Ω inclus dans R^{n}, n ≤ 3, sont évolutives, non linéaires, couplées et anisotropes. Dans une seconde partie, nous avons effectué l'analyse théorique du modèle développé dans le cas isotherme et isotrope en dimension deux. Nous avons obtenu des résultats d'existence, de régularité, de stabilité et d'unicité d'une solution, sous certaines conditions sur des opérateurs non linéaires du système. Enfin, nous avons développé une méthode de contrôle optimal non linéaire : le champ magnétique (qui intervient sous forme multiplicative) joue le rôle de contrôle, et l'observation est l'état désiré de la dynamique du front. Nous avons démontré l'existence d'une solution optimale et obtenu la sensibilité de l'opérateur solution et les conditions d'optimalité en introduisant un problème adjoint. Cette partie théorique de la thèse est complétée par un important travail numérique. L'analyse et les simulations numériques ont été menées sur le problème complet bi-dimensionnel non linéaire (isotrope et anisotrope). Nous avons utilisé pour la discrétisation la méthode des lignes qui consiste à considérer séparément la discrétisation temporelle et spatiale. La discrétisation spatiale est effectuée par un schéma d'éléments finis mixtes et le système différentiel algébrique obtenu est résolu par l'utilisation du solveur DASSL. La discrétisation du domaine est effectuée par des mailles triangulaires non structurées. Dans le cas réaliste, elles correspondent à un maillage non uniforme et trés fin dans la zone de la dendrite et au niveau de l'interface. Nous avons obtenu des estimations d'erreur pour les différentes variables d'état du modèle et analysé la robustesse et la stabilité des schémas d'approximation. Ce code numérique a été validé sur différents exemples, et donne d'excellents résultats. Ensuite, nous avons exploité le code pour traiter un problème réaliste, à savoir la solidification dendritique d'un alliage binaire Nickel-Cuivre, et analyser l'influence de champs magnétiques sur l'évolution des dendrites. Les résultats obtenus montrent l'efficacité de l'approche à reproduire les observations expérimentales.
1:  IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes
Solidification – modèles de champs de phase – convection – champs magnétiques – Analyse Mathématiques (Existence – unicité et régularité) – Analyse Numérique (éléments finis mixtes – estimations d'erreurs – stabilité – programmation). Problème de contrôle et dynamique des dendrites.

Dendritic Solidification of Binary Mixtures of Metals under the action of Magnetic Field: Modeling, Mathematical and Numerical Analysis
In order to understand the behavior of materials in the presence of impurities during the solidification process, it was required to develop appropriate methodologies for an analysis and an effective control of the topological changes of the microstructures (e.g., the formation of dendrites) during the different phases of transformation. The objective of this thesis is to build a relevant model of solidification of binary alloys under the action of magnetic fields, to analyze the obtained systems, from a theoretical and a numerical point of view, and finally, to develop an optimal control method to control the dynamics of the solidification front by the action of magnetic fields. Initially, we have described the physics of the problem and the fundamental laws necessary for modeling, then we built a new model of phase field, which takes into account the influence of the action of magnetic field on the movement of the solidification front. The model thus developed is characterized by the coupling of three systems: one of magnetohydrodynamic type, a second of Boettingger Warren-convection type (representing the evolution of the solidification front and the concentration of the binary mixture) and a third representing the evolution of the temperature. The equations of the complete system describing the model, in a domain Ω subset of R^{n}, n ≤ 3, are time-dependent, nonlinear, coupled and anisotropic. In a second part, we have performed the theoretical analysis of the model in the two-dimensional, isothermal and isotropic case. We have obtained results of existence, regularity, stability and uniqueness of the solution, under certain conditions on nonlinear operators of the system. Finally, we have developed a nonlinear optimal control method: the magnetic field (which acts multiplicatively) plays the role of the control, and the observation is the desired state of the dynamics of the front. We have proved the existence of an optimal solution and obtained the sensitivity of the operator solution and the optimality conditions by introducing an adjoint problem. The theoretical part of the thesis is supplemented by an important numerical work. The analysis and numerical simulations have been conducted on the complete two-dimensional nonlinear (isotropic and anisotropic) problem. We used, for discretization, the method of lines which consists to consider separately the spatial and temporal discretization. The spatial discretization is performed by using a mixed finite elements scheme and the resolution of the obtained algebraic differential system is performed by using the DASSL solver. The discretization of the domain is performed by unstructured triangular meshes. In the realistic case, they correspond to a non-uniform mesh that is very fine in area of the dendrite and at the interface. We have obtained error estimates for the different state variables of the model and analyzed the robustness and stability of the approximation schemes. This numerical code has been validated on various examples, and gives excellent results. Then we have used the code to treat a realistic problem, namely the dendritic solidification of a binary alloy Nickel-Copper, and to analyze the influence of magnetic fields on the development of dendrites. The results show the effectiveness of the approach to reproduce the experimental observations.
Solidification – Models of phase field – convection – magnetic field – Mathematical Analysis (Existence – Uniqueness and Regularity) – Numerical Analysis (Mixed Finite elements – Error Estimation – Stability – programming) – Control problem and dynamics of dendrites.

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