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INSA de Rouen (18/11/2010), André Draux (Dir.)
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Inégalités de Markov-Bernstein en L2 : les outils mathématiques d'encadrement de la constante de Markov-Bernstein
Mohamed Sadik1

Les travaux de recherche de cette thèse concernent l'encadrement de la constante de Markov Bernstein pour la norme L2 associée aux mesures de Jacobi et Gegenbauer généralisée. Ce travail est composé de deux parties : dans la première partie, nous avons développé une généralisation de l'algorithme qd pour les matrices symétriques définies positives à largeur de bande $\ell$ et nous avons construit l'algorithme qd pour les matrices de Jacobi par blocs. Ensuite, nous l'avons généralisé aux cas des matrices par bloc à largeur de bande $\ell$. Ces algorithmes nous permettent de trouver un majorant de la constante. Enfin, nous avons développé le déterminant caractéristique d'une matrice symétrique définie positive pentadiagonale, ce qui nous permet d'obtenir un minorant de la constante en utilisant la méthode de Newton. La deuxième partie est consacrée à l'application de tous les outils développés à l'encadrement de la constante de Markov Bernstein pour la norme L2 associée à la mesure de Gegenbauer généralisée.
1:  LMI - Laboratoire Mathématique de l'INSA
Inégalités de Markov-Bernstein – Norme $L2$ – Mesures de Jacobi et Gegenbauer

Markov-Bernstein inequalities in $L2$ norm : The mathematic tools for obtaining lower and upper bounds of Markov Bernstein inequalities
The aim of this thesis is to find the lower and upper bounds of the constant whichappears in the Markov Bernstein inequalities in L2 norm associated to the Jacobiand generalized Gegenbauer measures. In this work the qd algorithm is studied forobtaining some properties about the asymptotic behavior of some eigenvalues ofband matrices and block band matrices. These eigenvalues are linked to the MarkovBernstein constant. The application of all the tools developed for obtaining lowerand upper bounds of the Markov Bernstein constant in L2 norm associated to thegeneralized Gegenbauer measure is given.
Markov Bernstein inequalities – Othogonal polynomial – Qd algorithm / block qd algorithm – LR algorithm / block LR algorithm – Block band matrices – Jacobi polynomial – Gegenbauer

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