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Ecole Centrale Paris (13/12/2010), Denis Aubry;Jérôme Juillard (Dir.)
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Chapitres_1-4_v10_archiv.pdf(1.9 MB)
Réduction d'ordre de modèle d'un phénomène d'amortissement non-linéaire dans le cadre des microsystèmes.
Alexia Missoffe1, 2

Cette thèse traite de la réduction d'ordre de modèle du phénomène communément rencontré dans la modélisation de microsystèmes, à savoir, dans la littérature anglaise, le " squeeze-film damping ". Dans un premier chapitre sont présentées les différentes méthodes de réduction d'ordre de modèle. Dans le cas des systèmes linéaires, elles ont un cadre théorique bien établi. Ces méthodes peuvent être adaptées pour les systèmes non-linéaires. La validité des modèles réduits résultants sera alors réduite à un certain espace des phases, leur établissement faisant intervenir certaines trajectoires particulières servant d'apprentissage. On présente finalement la méthode des modes normaux non-linéaires dont les modèles résultants ne dépendent pas d'une trajectoire d'apprentissage. Au chapitre 2, on s'intéresse plus particulièrement au phénomène de " squeeze-film damping " régi par l'équation de Reynolds. Après avoir détaillé son établissement à partir de certaines hypothèses, on décrit les différentes méthodes de résolution de l'équation linéaire puis non-linéaire de la littérature. On compare ensuite les résultats d'un modèle de l'équation de Reynolds à des simulations éléments finis de l'équation de Navier-Stokes afin de valider les hypothèses faites pour la dérivation de l'équation de Reynolds. On propose ensuite une résolution originale par changement de variable. On étudie aussi plusieurs autres résolutions possibles ainsi que plusieurs bases de projection parmi celles décrites dans le premier chapitre. Le chapitre 3 est consacré à la modélisation du problème couplé que constitue le micro-interrupteur MEMS qui est un candidat au remplacement des interrupteurs à base de transistors dans les communications RF. Sa modélisation fait intervenir trois domaines, la mécanique, l'électrostatique, et la fluidique à travers l'équation de Reynolds. Après voir décrit les différents modèles de la littérature, on propose un modèle réduit couplé dont le modèle fluidique est basé sur le modèle établi au chapitre 2. Ce modèle est validé par rapport à des modèles différences finies et à des résultats expérimentaux de la littérature.Enfin le quatrième chapitre traite de la réduction du coût d'évaluation du modèle réduit couplé de micro-interrupteur du chapitre 3. La première méthode proposée consiste à trouver une fonction d'approximation de la projection de la force fluidique sur le premier mode mécanique, fonction des coordonnées modales mécaniques position et vitesse. Cette méthode ne se révèle valable que dans le cas incompressible. Dans le cas compressible, la résolution de l'équation de Reynolds restant obligatoire, on utilise la méthode de Rewienski et al. qui consiste à linéariser par morceaux les fonctions régissant la dynamique. Une autre méthode de linéarisation par morceaux, tirant parti d'une particularité du modèle du chapitre 2 et permettant de s'affranchir d'une trajectoire d'apprentissage, est également proposée.
1:  MSSMat - Laboratoire de mécanique des sols, structures et matériaux
2:  E3S - Supélec Sciences des Systèmes - EA4454
Microsystèmes – Mode normaux non-linéaires – Décomposition propre orthogonale

Reduced order modelling of a non-linear damping phenomena in the context of microsystems.
This thesis deals with reduced-order modelling of squeeze-film damping, a fluidic phenomenon that is commonly encountered in MEMS. In the first chapter, reduced-order modelling methods are presented. For linear systems, well-established theories exist. They can be adapted to nonlinear systems. However, the resulting reduced-order models are valid in a certain region of the state-space only, depending on the training trajectory. The method of nonlinear normal modes, which does not depend on a training trajectory is also introduced. Chapter two is focused on the squeeze-film damping phenomenon governed by the Reynolds equation. We first establish the equation from appropriate hypotheses, and then present the different resolutions of its linear and nonlinear form found in literature. The results from a model based on the Reynolds equation are then compared to results from a finite element Navier-Stokes model, in order to validate the various hypotheses made. An original method of resolution based on a change of variable is then proposed. Several other method of resolution are studied as well as different projection bases amongst those presented in chapter one.Chapter three is dedicated to the modelling a micro-switch, a candidate to the replacement of switches based on transistors in RF communications. Its modelling implies the coupling of three domains: mechanics, electrostatics, and fluidics with Reynolds equation. Following a description of the models from literature, a coupled model is proposed, the fluidic model being the one presented in chapter two. This model is validated compared to finite difference models as well as experimental data from the literature.Finally, the fourth chapter aims at reducing the evaluation cost of the coupled micro-switch model established in chapter three. The first method consists in finding an approximation function of the projection of the fluidic force on the first linear mechanical mode as a function of the mechanical modal coordinates, position and speed. This method is applicable in the incompressible case only. In the compressible case, the Reynolds equation has to be solved. The method of Rewienski and al., which consists in piecewise-linearizing the functions governing the dynamics, is used. Another method based on a piecewise-linear approach, taking advantage of the particular structure of the model presented in chapter two, thus not depending on a training trajectory, is proposed.
Microsystems – Non-linear normal modes – Proper orthogonal decomposition

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