Linear orders and dependence
Chaînes et dépendance
Résumé
This PhD thesis is in the general area of the independence property in model theory.Theories without this property are called NIP or dependent. The main objective of this thesis is to find new examples belonging to this class. Firstly, we prove an isolated result that answers a question stated by Pillay : if a NIP group contains an infinite set of finite nilpotency class, then there exists a definable subgroup of the same nilpotency class containing this set. The rest of this thesis is motivated by two extremely closed related contexts : abelian groups equipped with an uniformly definable chain of subgroups, and valued groups. In the first case we identify a theory and study several extensions of it. We prove quantifier elimination in each of these extensions, and use it to easily conclude that they are NIP. The last result is the most significant one. We prove that a natural theory of linear orderings equipped with quasi-automorphisms doesn’t have the independence property. Then we apply this result to a particular theory of valued abelian groups, which has been studied by Simonetta in the context of C-minimal groups, to conclude that it is NIP. We also prove in a rather straightforward way (using results by Rubin and Poizat) that a linear ordering equipped with automorphisms is NIP
Le cadre général de cette thèse est celui de la propriété d’indépendance en théorie des modèles. Les théories sans cette propriété sont appelées NIP ou dépendantes. L’objectif principal est de trouver de nouveaux exemples de théories appartenant à cette classe. Nous montrons d’abord un résultat isolé qui répond une question de Pillay : dans un groupe NIP possédant une partie infinie de classe de nilpotence finie, on y trouve un sous-groupe définissable de même classe de nilpotence et contenant cette partie infinie. Le reste de la thèse est motivé par deux cadres extrêmement proches : les groupes abéliens munis d’une chaîne de sous-groupes uniformément définissables, et les groupes abéliens valués. Dans le premier cas nous identifions une certaine théorie et nous étudions plusieurs extensions de cette théorie. Nous prouvons une élimination des quantificateurs dans chacune des ses extensions, grâce à laquelle la NIP en découle facilement. Le dernier résultat est le plus substantiel. Nous montrons qu’une théorie naturelle de chaîne colorée munie quasi-automorphismes n’a pas la propriété d’indépendance. Nous appliquons ensuite ce résultat à une certaine théorie de groupes valués, étudiée par Simonetta dans le contexte des groupes C-minimaux, pour en conclure qu’elle est NIP. Nous montrons aussi d’une façon assez directe (en utilisant des résultats de Rubin et Poizat) qu’une chaîne colorée munie d’automorphismes est NIP.
Origine : Version validée par le jury (STAR)