Bayesian prior distributions in a binomial sequential design
Lois bayésiennes a priori dans un plan binomial séquentiel
Résumé
The reformulation by R. de Cristofaro of the Bayes theorem allows to integrate the information on the experimental design in the prior distribution. In accepting to transgress the Likelihood and Stopping Rules principles, a new framework allows to move on the issue of sequenciality in the Bayesian inference. Considering that the information on the design is contained in the Fisher information, a new family of priors is derived from a likelihood directly related to the sampling rule. The case of the study of a proportion in the sequential context of successive Binomial samplings leads to consider the Beta-J distribution. The study on several sequential designs allows to state that the "corrected Jeffreys prior" compensates the bias induced on the observed proportion. An application in the estimation shows the relationship between the parameters of the Beta-J and Beta distributions in the fixed sampling. The mean and mode of the posterior distributions show remarkable frequentist properties. As well, the corrected Jeffreys interval has an optimal covering rates as the correction compensates the effect of stopping rule on the limits. Last, a test procedure, whose the errors are interpreted in terms of both bayesian probabilities of hypotheses and frequentist risks, is designed with a rule for stopping and rejecting H0 based on a limit value of the Bayes factor. It is shown how the corrected Jeffreys prior compensates the ratio of evidences and guarantees the unicity of solutions, even when the null hypothesis is composite.
La reformulation du théorème de Bayes par R. de Cristofaro permet d'intégrer l'information sur le plan expérimental dans la loi a priori. En acceptant de transgresser les principes de vraisemblance et de la règle d'arrêt, un nouveau cadre théorique permet d'aborder le problème de la séquentialité dans l'inférence bayésienne. En considérant que l'information sur le plan expérimental est contenue dans l'information de Fisher, on dérive une famille de lois a priori à partir d'une vraisemblance directement associée à l'échantillonnage. Le cas de l'évaluation d'une proportion dans le contexte d'échantillonnages Binomiaux successifs conduit à considérer la loi Bêta-J. L'étude sur plusieurs plans séquentiels permet d'établir que l'"a priori de Jeffreys corrigé" compense le biais induit sur la proportion observée. Une application dans l'estimation ponctuelle montre le lien entre le paramétrage des lois Bêta-J et Bêta dans l'échantillonnage fixe. La moyenne et le mode des lois a posteriori obtenues présentent des propriétés fréquentistes remarquables. De même, l'intervalle de Jeffreys corrigé montre un taux de recouvrement optimal car la correction vient compenser l'effet de la règle d'arrêt sur les bornes. Enfin, une procédure de test, dont les erreurs s'interprètent à la fois en terme de probabilité bayésienne de l'hypothèse et de risques fréquentistes, est construite avec une règle d'arrêt et de rejet de H0 fondée sur une valeur limite du facteur de Bayes. On montre comment l'a priori de Jeffreys corrigé compense le rapport des évidences et garantit l'unicité des solutions, y compris lorsque l'hypothèse nulle est composite.
Mots clés
Likelihood principle
stopping rule
sequential binomial design
Fisher information
Bayesian inference
frequentist properties
likelihood translation principle
impartiality of the design principle
Jeffreys rule
point estimation
confidence interval
hypothesis test
Bayes factor de Bayes
equality at bounds principle
Principe de vraisemblance
règle d'arrêt
plan Binomial séquentiel
information de Fisher
inférence bayésienne
propriétés fréquentistes
principe de translation de la vraisemblance
rincipe d'impartialité du plan expérimental
règle de Jeffreys
estimation ponctuelle
intervalle de confiance
test d'hypothèse
facteur de Bayes
principe d'égalité aux bornes
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