Poincaré recurrence for observations
Récurrence de Poincaré pour les observations
Résumé
A high dimensional dynamical system is often studied by experimentalists through the measurement of a relatively low number of different quantities, called an observation. Following this idea and in the continuity of Boshernitzan's work, for dynamical system, random dynamical systems and flows, we study Poincaré recurrence for the observation. The link between the asymptotic behaviour of return time for the observation and the pointwise dimensions of the image of the invariant measure is considered. In Chapter 3, we prove that when the decay of correlations is super polynomial, the non-instantaneous recurrence rates for the observations and the pointwise dimensions relative to the push-forward measure are equal. Then, these results allow us to study, in Chapter 4, Poincaré recurrence for random dynamical systems and to prove that, for rapidly mixing system, the recurrence rates (quenched and annealed) are equal to the local dimensions of the stationary measure. Finally, in Chapter 5, we focus on flows. We obtain, for the recurrence rates, an upper bound depending on the push-forward measure but also on the escape function. When the flow is metrically isomorphic to a suspension flow for which the dynamic on the base is rapidly mixing, we prove the existence of a lower bound for the recurrence rate.
Un système dynamique de grandes dimensions est souvent étudié par les expérimentalistes à travers une certaine "mesure" ou un "relevé" d'un relativement petit nombre de différentes quantités, appelées observations. En suivant cette idée et dans la continuité du travail de Boshernitzan, pour les systèmes dynamiques, les systèmes dynamiques aléatoires et les flots, nous étudions la récurrence de Poincaré pour les observations. Lors de ce travail, nous avons relié le comportement asymptotique du temps de retour pour une observation aux dimensions locales de l'image de la mesure invariante. En particulier, dans le Chapitre 3, pour des systèmes mélangeant rapidement, nous avons démontré une égalité entre les taux de récurrence non-instantanés pour l'observation et les dimensions locales de la mesure image. Par la suite, ces résultats nous ont permis d'étudier, dans le Chapitre 4, la récurrence pour les systèmes dynamiques aléatoires et de démontrer une égalité entre les taux de récurrence (quenched et annealed) et les dimensions locales de la mesure stationnaire lorsque le système mélange super-polynomialement. Finalement, dans le Chapitre 5, nous étudions le cas des flots. Nous avons obtenu, pour les taux de récurrence, une borne supérieure dépendant de la mesure image et de la fonction de fuite initialement considérée. Lorsque le flot est métriquement isomorphe à un flot suspendu dont la dynamique sur la base mélange rapidement, nous avons démontré l'existence d'une borne inférieure pour les taux de récurrence.
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