Mould calculus and theory of usual and renormalized normal forms
Calcul moulien et théorie des formes normales classiques et renormalisées
Résumé
This text is about normal forms of differential equations. The first part of this text deals with retarded (or delayed) differential equations; these equations appear for example in tide computations and also in physiological modeling, where they have a particular interest. The search of normal forms of retarded differential equations is made difficult as the initial conditions space is of infinite dimension. We present a computation by Faria which reduces this difficulty: first we make a projection on a finite dimensional central manifold, on which it is possible to make a classical (i.e. Poincaré-Dulac) normal form computation. Then we extend this result with the help of Gaeta's method of renormalization. By using these two methods, we prove a theorem giving existence of a renormalized normal form of a retarded differential equation. In the second part, we present the mould calculus by Jean Écalle. We use this formalism to compute normal forms of formal vector fields and apply it then to hamiltonian formal vector field in cartesian coordinates, then in action-angle coordinates. We obtain then a new proof of a formal version of Birkhoff's theorem on normal forms, and Kolmogorov's theorem. We present also a Maple worksheet, which shows how easily mould can be implemented in formal computations.
La première partie de cette thèse présente le cadre des équations différen- tielles à retard. Ces équations apparaissent notamment dans des modélisations de phénomènes physiques (calcul de marées) et physiologiques. La recherche de forme normale d'équation différentielle à retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On présente une méthode de calcul due à T. Faria qui permet de réduire cette difficulté en utilisant des variétés centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale « classique ». On étend ensuite ce résultat à l'aide d'une méthode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des équations différentielles ordinaires. En utilisant ces deux méthodes, on démontre un théorème donnant l'existence d'une forme renormalisée d'équation différentielle à retard. Dans une deuxième partie, on présente et on étudie le formalisme moulien développé par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs de vecteurs, et on l'applique à des champs hamiltoniens en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées action-angle. On obtient ainsi une nouvelle démonstration de la version formelle du théorème de Kolmogorov et du théorème de Birkhoff. On présente également une feuille de calcul avec Maple mettant en œuvre certains de ces calculs, et témoignant ainsi de la remarquable aptitude du formalisme moulien à être utilisé dans les logiciels de calcul formel.
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