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Fiche détaillée Thèses
Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I (29/05/1992), Claude Brezinski, Jeannette Van Iseghem (Dir.)
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Convergence et applications d'approximations rationnelles vectorielles
Hervé Le Ferrand1

Les approximants de Padé et leurs généralisations sont depuis plusieurs années l'objet d'intenses recherches, et leurs applications sont nombreuses. Beaucoup de problèmes théoriques restent cependant en suspens: problèmes tout d'abord d'existence, d'unicité problèmes de convergence, d'accélération de convergence. L'objectif du travail présenté ici était justement d'apporter des réponses à de telles questions. Dans la première partie nous nous sommes intéressés aux approximants de Padé vectoriels de séries de matrices. Des conditions d'existence et d'unicité, des résultats de convergence sont donnés, ainsi que le lien avec la théorie de Lanczos pour la résolution de systèmes linéaires. Nous utilisons aussi les approximants de Padé vectoriels pour l'approximation simultanée d'une fonction et de sa dérivée. Dans la seconde partie une condition suffisante pour la convergence quadratique de l'epsilon algorithme topologique pour la résolution de systèmes non linéaires est donnée. Des résultats d'accélération de la convergence sont démontrés pour la deuxième colonne de l'epsilon algorithme/vectoriel et plus généralement pour des procédés quasi linéaires vectoriels. La troisième partie porte sur certains approximants de type Padé de fonctions entières. Des résultats sur l'accélération sont établis. La dernière partie fait le lien entre biorthogonalité, procédé de Gram-Schmidt, système linéaire et interpolation.
1 :  IMB - Institut de Mathématiques de Bourgogne
Approximants de Padé vectoriels – Polynômes biorthogonaux – Epsilon algorithme topologique – Biorthogonalité – Approximants de type Padé – Epsilon algorithme vectoriel – Accélération de la convergence

Convergence and applications of vector rational approximations
The Padé approximants and their generalizations are for many years the matter of intense researchs .Yet , many theoritical problems stay in suspense : problems of exitence and unicity , problems of convergence and acceleration of convergence .The purpose of the present work vas to give answers to such questions .In the first section we take an in terest in vector Padé approximants of matrix series .Conditions of existence and unicity ,results of convergence are given ,as also the link with the theory of Lanczos method for the resolution of linear Systems . We utilize also the vector Padé approximants to provide a simultaneous approximation of a function and its derivative .In the second section a sufficient condition for the quadratic convergence of the topological epsilon algorithm for Systems of nonlinear equations is given . Results of acceleration of convergence are proved for the second column of the vector epsilon algorithm , and more generaly for vector quasi linear trasformations .The third section deals with some Padé type approximants of entiere functions.In the last section a link between biorthogonality ,Gram - Schmidt process , linear System and interpolation is made .
Vector Padé approximants – Padé type approximants – Biorthogonal polynomials – Vector epsilon algorithm – Topological epsilon algorithm – Acceleration of convergence

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