Transport and control problems in economics: theoretical and numerical aspects
Quelques problèmes de transport et de contrôle en économie: aspects théoriques et numériques
Résumé
In this thesis we explore some uses of optimal control and mass transport in economic modeling. We thus catch the opportunity to bring together some works involving both tools, sometimes mixing them. First, we briefly present the recent mean field games theory introduced by Lasry & Lions and focus on the optimal control of Fokker-Planck setting. We take advantage of this aspect in order to obtain both existence results and numerical methods to approximate solutions. We test the algorithms on two complementary settings, namely the convex setting (crowd aversion, two populations dynamics) and the concave one (attraction, externalities and scale effect for a stylized technology switch model). Secondly, we study matching problems combining optimal transport and optimal control. The planner looks for an optimal coupling, fixed during the considered time period (commitment), knowing that the marginals evolve (possibly randomly) and that she can control the evolution. Finally we reformulate a risk-sharing problem between d agents (for whose we prove an existence result) into an optimal control problem with comonotonic constraints. This enables us to write optimality conditions that we use to build a simple convergent algorithm.
Dans cette thèse on explore l'utilisation du contrôle optimal et du transport de masse pour la modélisation économique. Nous saisissons ainsi l'occasion de réunir plusieurs travaux faisant intervenir ces deux outils, parfois en interactions l'un avec l'autre. Dans un premier temps nous présentons brièvement la récente théorie des jeux à champ moyen introduite par Lasry et Lions et nous concentrons sur le point de vue du contrôle de l'équation de Fokker-Planck. Nous exploitons cet aspect à la fois pour obtenir des résultats d'existence d'équilibres et pour développer des méthodes numériques de résolution. Nous testons les algorithmes dans deux cas complémentaires à savoir le cadre convexe (aversion à la foule, dynamiques à deux populations) et le cadre concave (attraction, externalités et effets d'échelle dans un modèle stylisé de transition technologique). Dans un second temps, nous étudions un problème de matching mêlant transport optimal et contrôle optimal. Le planificateur cherche un couplage optimal, fixé pour une période donnée (engagement), étant donné que les marges évoluent (éventuellement aléatoirement) de façon contrôlée. Enfin, nous reformulons un problème de partage de risque entre d agents (pour lequel nous prouvons un résultat d'existence) en un problème de contrôle optimal avec contraintes de comonotonie; ceci nous permet d'obtenir des conditions d'optimalité à l'aide desquelles nous construisons un algorithme simple et convergent.
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