Sur quelques problèmes de quantification : en espace-temps de de Sitter et par états cohérents
Résumé
This manuscript is devoted to quantization problems in mathematical and theoretical physics. It is divided into two subjects: conformally invariant fields on de Sitter spacetime and quantization through coherent states. • The first subject follows a comprehensive program of covariant quantization of fields in de Sitter spacetime, whose spirit is close to the Wightman axiomatic. We paid a particular attention to the quantization of fields that could be (naturally) extended to the conformal group. We developed a geometric point of view enabling us to link fields on (anti-)de Sitter and Minkowski spacetimes while keeping transparent the action of the conformal group. This geometric viewpoint led us to the expression of a new propagator for the vector potential. We thus reached the simplest and the most compact form ever seen for this object. Finally, this approach allowed us to set up a general framework to compute the propagators of higher rank conformally invariant tensors in de Sitter spacetime. • The second subject deals with coherent states (CS) and their use in quantization problems. It is well known that many classical observables cannot be quantized by following canonical quantization rules, depending on the geometry or topology of the phase space. Quantization through coherent states and their generalizations avoid to a certain extent those drawbacks, or at least might give us hints on how to circumvent them. The particle in an infinite well is a toy model for this type of CS quantization since the momentum operator, in spite of being symmetric, is not self-adjoint and there is impossibility of canonical commutation rule (Pauli Theorem). Thanks to a new family of 2-component vector-valued coherent states, we were able, to quantize, in a consistent way, the particle in the infinite well. Finally, we began the fuzzyfication of the hyperboloid, that is the quantization of the de Sitter spacetime itself, through generalized coherent states.
Ce manuscrit de thèse rassemble quelques résultats concernant des problèmes de quantification. Il est divisé en deux parties : la quantification de champs invariants conforme sur l'espace-temps de de Sitter et deux quantifications par états cohérents. • La première partie s'inscrit dans un programme de quantification systématique et rigoureux, proche de l'axiomatique de Wightman, des champs sur l'espace-temps de de Sitter. Plus particulièrement, nous avons étudié les champs admettant une extension (naturelle) au groupe conforme. Après avoir clarifié les notions d'invariance sous les transformations de Weyl et sous le groupe conforme SO0(2, d) nous avons établi un point de vue géométrique reliant/déformant les champs sur l'espace-temps de (anti-)de Sitter à ceux sur l'espace-temps de Minkowski, tout en gardant transparente l'action du groupe conforme. Cette méthode nous a permis d'obtenir le propagateur du champ vectoriel invariant conforme, qui adopte alors une forme particulièrement simple et compacte. Enfin, notre approche se généralise aux champs tensoriels de rang plus élevé invariants conformes sur l'espace-temps de de Sitter. • La seconde partie de ce travail concerne l'utilisation des états cohérents dans les problèmes de quantification. Suivant la géométrie ou la topologie de l'espace des phases, nombres d'observables ne peuvent être quantifiées en suivant les règles de quantification canonique. En un certain sens la quantification par états cohérents, et leurs généralisations, permet de contourner ces difficultés, ou, du moins, fournit des idées quant à la façon de les contourner. Par exemple, la particule dans un puits infini de potentiel est un modèle pour la quantification par états cohérents comme l'opérateur impulsion, en dépit d'être symétrique, n'est pas auto-adjoint et, ainsi, ne peut vérifier les relations de commutation canonique (théorème de Pauli). Grâce à une nouvelle famille d'états cohérents vectoriels nous avons pu quantifier, de manière cohérente, la particule dans le puits infini de potentiel. Enfin, nous avons abordé la fuzzyfication de l'hyperboloïde, c'est-à-dire la quantification de l'espace-temps de de Sitter lui-même, grâce à une nouvelle base d'états cohérents vectoriels.
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