Stochastic control, default risk and liquidity risk
Quelques applications du contrôle stochastique aux risques de défaut et de liquidité
Résumé
This PhD dissertation consists of three independent parts and deals with applications of stochastic control to finance. In the first part, we study the utility maximization problem in a market with defaults and total/partial information. The dynamic programming principle is used to characterize the value function. Given this characterization, we find a BSDE of which the value function is a solution. We also give an approximation of this value function. In the second part, we study BSDEs with jumps. We link BSDEs with jumps and Brownian BSDEs using the decomposition of processes in the reference filtration. With this link, we get a result of existence, a comparison theorem and a decomposition of Feynman-Kac formula. We use these techniques to work out the price of a European option in a complete market and the indifference price of a contingent claim in an incomplete market. Finally, in the third part, we use the error theory to explain the liquidity risk and to model the Bid-Ask spread. Then we solve an optimal liquidation problem for a large portfolio in discrete and deterministic time.
Cette thèse se compose de trois parties indépendantes portant sur l'application du contrôle stochastique à la finance. Dans la première partie, nous étudions le problème de maximisation de la fonction d'utilité dans un marché incomplet avec défauts et information totale/partielle. Nous utilisons le principe de la programmation dynamique pour pouvoir caractériser la fonction valeur solution du problème. Ensuite, nous utilisons cette caractérisation pour en déduire une EDSR dont la fonction valeur est solution. Nous donnons également une approximation de cette fonction valeur. Dans la seconde partie, nous étudions les EDSR à sauts. En utilisant les résultats de décomposition des processus à sauts liée au grossissement progressif de filtration, nous faisons un lien entre les EDSR à sauts et les EDSR browniennes. Cela nous permet de donner un résultat d'existence, un théorème de comparaison ainsi qu'une décomposition de la formule de Feynman-Kac. Puis nous utilisons ces techniques pour la détermination du prix d'une option européenne dans un marché complet et le prix d'indifférence d'un actif contingent non duplicable dans un marché incomplet. Enfin, dans la troisième partie, nous utilisons la théorie des erreurs pour expliquer le risque de liquidité comme une propriété intrinsèque au marché. Cela nous permet de modéliser la fourchette Bid-Ask. Puis nous résolvons dans ce modèle le problème de liquidation optimale d'un portefeuille en temps discret et déterministe en utilisant la programmation dynamique.