The local integration of Leibniz algebras
L'intégration locale des algèbres de Leibniz
Résumé
The main result of this thesis is a local answer to the coquecigrue problem. By coquecigrue problem, we mean the problem of integrating Leibniz algebras. This question consists in finding a generalization of Lie's third theorem for Leibniz algebras. This theorem establishes that for every Lie algebra g, there exists a Lie group G whose tangent space at 1 is provided with the structure of a Lie algebra isomorphic to g. The Leibniz algebra structure generalizes that of a Lie algebra, so we search for an algebraic structure generalizing that of a group and answering the same question. We answer to this problem by locally integrating every Leibniz algebra into a local augmented Lie racks. A Lie rack being a manifold provided with a product satisfying further axioms which generalize (some properties of) the conjugation in a group. Particularly we ask this product to be self distributive. Our approach to the problem is similar to one given by E. Cartan in the case of Lie groups and Lie algebras, and consists in associating to every Leibniz algebra an abelian extension of a Lie algebra by an anti-symmetric module. This extension is caracterised by a class in the second Leibniz cohomology group, and we associate to a representant of this class a local Lie rack cocycle which permits us to construct a local augmented Lie rack which solves the problem. To construct this local cocycle, we generalize an integration method of a Lie algebra cocycle into a Lie group cocycle due to W.T. Van Est.
Le résultat principal de cette thèse est une solution locale du problème des coquecigrues. Par problème des coquecigrues, nous parlons du problème d'intégration des algèbres de Leibniz. Cette question consiste à trouver une généralisation du troisième théorème de Lie pour les algèbres de Leibniz. Ce théorème établit que pour toute algèbre de Lie g, il existe un groupe de Lie G dont l'espace tangent en 1 est muni d'une structure d'algèbre de Lie isomorphe à g. La sructure d'algèbre de Leibniz généralise celle d'algèbre de Lie, nous cherchons donc une structure algébrique généralisant celle de groupe et répondant à la même question. Nous résolvons ce prob- lème en intégrant localement toute algèbre de Leibniz en un rack de Lie augmenté local. Un rack de Lie étant une variété munie d'un produit satisfaisant plusieurs axiomes qui généralisent des propriétés de la conjugaison dans un groupe. En particulier, ce produit est autodistributif. Notre approche de ce problème est basée sur une preuve donnée par E.Cartan dans le cas des groupes et algèbres de Lie, et consiste à associer à toute algèbres de Leibniz une extension abélienne d'une algèbre de Lie par un module antisymétrique. Cette extension est caractérisée par une classe dans le second groupe de cohomologie de Leibniz, et nous associons à tous représentant de cette classe un cocyle de rack de Lie local qui nous permet de construire un rack de Lie augmenté local répondant au problème. Pour construire ce cocycle, nous généralisons une méthode d'intégration d'un cocycle d'algèbre de Lie en cocycle de groupe de Lie due à W.T.Van Est.
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