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Université de Franche-Comté (2010-06-09), Cédric Bonnafé (Dir.)
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Géométrie des variétés de Deligne-Lusztig, décompositions, cohomologie modulo \ell et représentations modulaires
Olivier Dudas1

Cette thèse porte sur la construction et l'étude des représentations modulaires des groupes réductifs finis. Comme dans le cas ordinaire, l'accent est mis sur les constructions de nature géométrique, obtenues à partir de la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. On commence par introduire des méthodes de décomposition du type Deodhar, permettant de déterminer en toute généralité la présence d'une classe particulière de représentations, les modules de Gelfand-Graev, ainsi que certaines de leurs versions généralisées. Des résultats plus précis sont ensuite démontrés pour des variétés associées à certains éléments réguliers de petite longueur. Le cas des éléments de Coxeter tient une place importante dans ce mémoire : pour ces éléments, on détermine un représentant explicite du complexe de cohomologie, aboutissant à une preuve de la version géométrique de la conjecture de Broué pour certains nombres premiers. On en déduit aussi la forme de l'arbre de Brauer du bloc principal dans ce cas, ce qui résout une conjecture de Hiss, Lübeck et Malle. Ces deux résultats sont conditionnés par une hypothèse assurant l'absence de torsion dans la cohomologie, dont on montre qu'elle est satisfaite pour de nombreux groupes classiques et exceptionnels.
1:  LM-Besançon - Laboratoire de Mathématiques
groupes réductifs finis – théorie de Deligne-Lusztig – décomposition de Deodhar – décomposition de Bialynicki-Birula – modules de Gelfand-Graev – modules de Gelfand-Graev généralisés – arbres de Brauer – conjecture de Broué

Geometry of Deligne-Lusztig varieties, decompositions, mod \ell cohomology and modular representations
This work is a contribution to the modular representation theory of finite reductive groups. As in the ordinary setting, we are mainly interested in geometric constructions of the representations by means of the cohomology of Deligne-Lusztig varieties. We start by studying a Deodhar-type decomposition that we use to locate a certain class of representations, the so-called Gelfand-Graev modules and some of their generalizations. More precise results are obtained for varieties associated to some short-length regular elements. The case of Coxeter elements holds an important place in this work: for these specific elements we give an explicit construction of a complex representing the cohomology of the corresponding varieties, leading to a proof of the geometric version of Broué's conjecture for some prime numbers. We also deduce the Brauer tree of the principal block in this case, which settles a conjecture of Hiss, Lübeck and Malle. Both of these results rely on the assumption that the cohomology is torsion-free, which is shown to hold for several classical and exceptional groups.
finite reductive groups – Deligne-Lusztig theory – Deodhar decomposition – Bialynicki-Birula decomposition – Gelfand-Graev modules – generalized Gelfand-Graev modules – Brauer trees – Broué's conjecture

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