Contribution to the study of empirical copula processes
Contribution à l'étude du processus empirique de copule
Résumé
In this thesis, we are concerned with strong approximations of the empirical copula process, possibly smoothed, by a suitable sequence of Gaussian processes. When the margins are known, we study the behavior of bivariate empirical copula process on pavements of [0,1]2. In the case of unknown margins and for any dimension d, we derive, via two different constructions, the rates of the strong approximation of empirical copula processes by sequence of Brownian bridges (d-parameters) or by sequence of Kiefer process ( (d+1)- parameters). Some applications on statistic linear rank, empirical process of density of copula, L.I.L and the smoothed empirical process of copula are studied. We develop a test of equality between two dependence structures estimated through empirical copulas. The null hypothesis consists in the identity of two copulas associated to the two samples under the hypothesis of independence of the margins. We state the asymptotic distributions of some functional as Cramer-von-Mises type or Kolmogorov-Smirnov statistics.
Cette thèse traite des propriétés statistiques fines des processus empiriques de copules, éventuellement lissées, dans une optique d'approximations fortes. Lorsque les marges sont connues, nous avons établi une approximation forte du processus empirique bivarié de copules sur des pavés de [0,1]^2. Nous considérons ensuite un cadre plus général où la dimension d de la variable est supérieure à 2 et les marginales sont continues mais inconnues. Nous fournissons, par deux techniques différentes, des approximations fortes du processus empirique de copule par une suite de ponts Browniens attachés à paramètres, ou par une suite de processus de Kiefer attachés à (d+1)-paramètres. Ceci nous permettra d'obtenir des résultats asymptotiques pour le processus empirique de densité de copule, pour les statistiques de rang multivariées et pour le processus empirique de copule lissée ainsi que l'ordre de grandeur du module d'oscillation et la L.L.I du processus empirique de copule. Nous abordons le problème du test à deux échantillons; l'hypothèse nulle consiste en l'identité des deux copules sous-jacentes aux deux échantillons, simultanément avec l'hypothèse d'indépendance des marges. Deux hypothèses alternatives sont considérées, selon qu'on rejette la propriété d'indépendance. Nous proposons plusieurs statistiques de tests basées, essentiellement, sur les normes infinie ou L^2 de la différence entre les deux processus de copules empiriques sous-jacents (statistiques de type Kolmogorov-Smirnov et Cramer Von Mises). Sous l'hypothèse nulle, des bornes et vitesses de convergence presque sûres vers des processus gaussiens sont obtenues.
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