High accuracy approximation for diffraction problems.

Approximation de haute précision des problèmes de diffraction.

Sophie Laurens (1)

1 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

This work is about the high-accuracy study of waves diffracted by a bounded obstacle. Two aspects are considered : the reduction of the computational domain thanks to fictive absorbing media and the research of a new high-order explicit approximation whose stability is independent of the order of spatial approximation chosen. First, we consider the reduction of the computational domain by the Perfectly Matched Layers (PML) around non necessarily convex domains sets (but typical of scattering problems, meaning no trapping). Exhaustion domains diffeomorphic to convex are considered with almost necessary hypotheses. For Maxwell or waves equations, the existence and uniqueness are demonstrated in all the space and in artificially bounded domains, for both harmonic and unsteady problems. The decay is analyzed locally and asymptotically, and some numerical simulations are performed. The second part of the work is an alternative to the Discontinuous Galerkin methods, inspired by the J. Rauch regularity results. Its advantage is to preserve a CFL condition, such as the one for the Finite Volumes methods, independently of the order of approximation, for structured meshes as well as for unstructured ones. The convergence of this method is proven through consistancy and stability, thanks to the Lax-Richtmyer theorem, for structured meshes. For unstructured ones, the consistancy can no longer be established by the Taylor formula, so convergence is not guaranteed anymore, but the first bidimensional numerical experiments give excellent results.

Cette thèse examine deux façons de diminuer la complexité des problèmes de propagation d'ondes diffractées par un obstacle borné : la diminution des domaines de calcul à l'aide de milieux fictifs absorbants permettant l'adjonction de conditions aux limites exactes et la recherche d'une nouvelle approximation spatiale sous forme polynomiale donnant lieu à des schémas explicites où la stabilité est indépendante de l'ordre choisi. Dans un premier temps, on réduit le domaine de calcul autour de domaines non nécessairement convexes, mais propres aux problèmes de scattering (non trapping), à l'aide de la méthode des Perfectly Matched Layers (PML). Il faut alors considérer des domaines d'exhaustion difféomorphes à des convexes avec des hypothèses "presque" nécessaires. Pour les Equations de type Maxwell et Ondes, l'existence et l'unicité sont montrées dans tout l'espace et en domaine artificiellement borné, tant en fréquentiel qu'en temporel. La décroissance est analysée localement et asymptotiquement et des simulations numériques sont proposées. La deuxième partie de ce travail est une alternative à l'approximation de type Galerkin Discontinu, inspirée des résultats de régularité de J. Rauch, présentant l'avantage de conserver une condition CFL de type Volumes Finis indépendante de l'ordre d'approximation, aussi bien pour des maillages structurés que déstructurés. La convergence de cette méthode est démontrée via la consistance et la stabilité, grâce au théorème d'équivalence de Lax-Richtmyer pour des domaines structurés. En déstructuré, la consistance ne pouvant plus s'établir au moyen de la formulation de Taylor, la convergence n'est plus assurée, mais les premiers tests numériques bidimensionnels donnent d'excellents résultats.

Mots clés: Waves propagation equations; Friedrichs' systems; Fictive absorbing media; Pseudo riemannian manifolds; High order approximation; Electromagnetism

Mots clés: Equations de propagation d'ondes; Systèmes de Friedrichs; Perfectly Matched Layers; Milieux fictifs absorbants; Variétés pseudo riemanniennes; Approximation d'ordre élevé; Electromagnétisme

Domaines: Mathématiques [math]

Sophie Laurens. Approximation de haute précision des problèmes de diffraction.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00475286v2⟩