p-automatic interpretation of Lubin-Tate formal groups and reduced Drinfeld modules
Interprétation p-automatique des groupes formels le Lubin-Tate et des modules de Drinfeld réduits
Résumé
This work is firstly based on the observation of a result by P. Robba which states, for any p-adic integer λ, the equivalence between the rationality of λ and the algebraicity of (1+T)λ mod p ∈ Fp[[T]] over Fp(T). As this power series is before reduction essentially the same as the endomorphism [λ](T) of the multiplicative group over Zp we generalize this result to a class of LubinTate formal groups whose logarithm satisfies a certain condition of algebraicity Then we interpret the result by means of the Fontaine Wintenberger's fonctor XK and draw consequences about algebraic independence of automorphisms of local fields. In the second part of this work we establish the analogue of the Robba's theorem in the context of Drinfeld modules of rank 1 defined on the P-adic completion Fq[t]P of Fq[t] where P is a monic prime polynomial over Fq with degree n.
Ce travail part de l'observation d'un résultat de P. Robba établi en 1982 dont l'énoncé est le suivant : si l est un entier p-adique, alors la série (1+T)l à coefficients dans l'anneau des entiers p-adiques, réduite modulo p, est algébrique sur le corps des fractions rationnelles à coefficients dans le corps fini à p éléments si et seulement si l est rationnel. En remarquant que cette série a une expression très proche de celle d'un endomorphisme du groupe multiplicatif sur l'anneau des entiers p-adiques, on généralise ce résultat à une classe de groupes formels de Lubin-Tate dont le logarithme vérifie une certaine condition d'algébricité. Nous interprétons ensuite ce résultat via le foncteur XK de Fontaine et Wintenberger et en tirons des conséquences sur l'indépendance algébrique des automorphismes de corps locaux. Dans la deuxième partie de ce travail, nous établissons l'analogue du théorème de P. Robba dans le cas des modules de Drinfeld de rang 1 définis sur le complété P-adique de l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps fini où P est un polynôme irréductible, unitaire et à coefficients dans ce même corps fini.