Étude de la quadrangulation infinie uniforme

Laurent Ménard (1)

1 LM-Orsay - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay

Quadrangulations are proper embeddings of finite connected graphs in the two-dimensional sphere for which all faces have degree 4. Our main object of study is the so-called uniform infinite quadrangulation. This infinite random map has been defined in two different ways. The first definition consists in taking the local limit of large random (finite) quadrangulations whose laws are uniform over the set of all quadrangulations with a given size. The second definition takes advantage of a bijection between quadrangulations and well-labelled trees. The starting point is a suitably defined uniform infinite random tree whose law is mapped to the set of all infinite quadrangulations using an extended version of the bijection. In the second chapter of this manuscript, we prove that the two previous definitions lead to the same object. This fact is not trivial as, in the infinite setting, the bijection between quadrangulations and trees is not continuous for the topology of local convergence. The proof depends on studying some combinatorial properties of the bijection and estimating the distribution of vertices with small labels in high generations of the uniform infinite tree. In chapter 3, we use the equivalence of the two definitions to compute scaling limits for the uniform infinite quadrangulation. Indeed, quantities such as the volume of balls around a distinguished point of the quadrangulation can be evaluated by studying the uniform infinite tree. The main technical ingredient of this chapter is the convergence of the rescaled contour functions of the uniform infinite tree towards a stochastic process linked to the Brownian snake.

Les quadrangulations sont des plongements dans la sphère de graphes planaires pour lesquels toutes les faces sont de degré 4. L'objet central de cette thèse est la quadrangulation infinie de loi uniforme. Cette carte a été définie de deux manières indépendantes. La première méthode, naturelle du point de vue des cartes, est de prendre la limite locale de grandes quadrangulations aléatoires de loi uniforme parmi les quadrangulations de même taille. La seconde méthode repose sur une bijection avec les arbres bien étiquetés. On y construit dans un premier temps un arbre infini de loi uniforme, puis on transporte la loi de cet arbre sur l'ensemble des quadrangulations infinies avec la bijection. L'objet du chapitre 2 de ce mémoire est de démontrer que ces deux constructions aboutissent au même objet. Ce fait n'est a priori pas évident car la bijection entre les arbres et les quadrangulations n'est pas continue pour la topologie de la convergence locale. Le résultat s'obtient alors en étudiant des propriétés combinatoires de cette bijection et les sommets ayant de petites étiquettes dans les générations élevées d'un arbre sous la loi uniforme. Le chapitre 3 utilise ensuite cette équivalence des deux points de vue pour calculer les limites d'échelle de certaines fonctionnelles de la quadrangulation infinie uniforme. En effet, des quantités comme le volume des boules autour d'un point distingué de la quadrangulation infinie uniforme peuvent se calculer grâce à une étude de l'arbre infini uniforme. Ce chapitre est articulé autour de la preuve de la convergence des fonctions de contour de l'arbre infini uniforme vers un processus stochastique lié au serpent brownien.

Mots clés: cartes aléatoires; arbres aléatoires; seprent brownien

Domaines: Mathématiques [math]

Laurent Ménard. Étude de la quadrangulation infinie uniforme. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00467174⟩