On the minimal free resolution of ideals of arrangements of points in projective spaces
Sur la résolution minimale des idéaux d'arrangement de points génériques dans les espaces projectifs
Résumé
The goal of this work is to study the minimal resolution of ideals of union of points in general position in projective spaces. Carlos Simpson and André Hirschowitz reduce the problem to a maximal rank computation (that is surjectivity or injectivity) for the restriction morphisms $$ H^0(P^n,\wedge^k T_{P^n}(l))\to \wedge^k T_{P^n}(l)ı_{Z_1}\oplus\dots T_{P^n}(l)ı_{Z_s} $$ where $Z_1,\dots Z_z$ are points of $P^n$. They show that for a large number of points or equivalently for a degree $l$ large enough, one has the maximal rank property. They obtain this property, using la \m¶ethode d'Horace", from a certain number of maximal rank situations assumming maximal rank property for the situations in dimension 2 and 3. In this thesis the maximal rank property for those situations in dimension 2 and 3 is proven. A lower bound for the degree for which those properties are available is given. In chapter 6 it is shown, using some re¯nement in the method of Simpson and Hirschowitz, how to get a proof of the already known property for $T_{P^3} (l)$. In chapter 7, the refined method is used to get a proof for $T_{P^4} (l)$.
Le but de ce travail est d'étudier la résolution minimale des idéaux d'arrangement de points en position générale dans les espaces projectifs. Carlos Simpson et André Hirschowitz réduisent le problème à un calcul de rang maximal (c'est à dire surjectivité ou injectivité) pour les morphismes de restriction $$ H^0(P^n,\wedge^k T_{P^n}(l))\to \wedge^k T_{P^n}(l)ı_{Z_1}\oplus\dots T_{P^n}(l)ı_{Z_s} $$ où $Z_1,\dots Z_z$ sont des points de $P^n$. Ils montrent ensuite que pour un grand nombre de points ou de façon équivalente pour un degré $l$ suffisamment grand, on a la propriété de rang maximal. Ils déduisent cette propriété , grâce µa la méthode d'Horace, d'un certain nombres de situations de rang maximal modulo les dimensions 2 et 3. Dans cette thèse on étudie et prouve systématiquement le rang maximal pour ces situations en dimension 2 et 3. On donne aussi une borne inférieure du degré pour laquelle ces énoncés sont valables. Le chapitre 6 montre comment, en raffinant les procédés de Simpson et Hirschowitz, obtenir une preuve de l'énonc¶e déjà connu pour $T_{P^3} (l)$. Le chapitre 7 reprend alors la méthode pour obtenir une preuve pour $T_{P^4} (l)$.
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