Estimation non paramétrique pour les modèles autorégressifs
Nonparametric estimation for an autoregressive models
Abstract
This thesis is devoted to nonparametric estimation for autoregressive models. We consider the problem of estimating an unknown function at a fixed point using data governed by autoregressive models. To define the risk associated with the use of an estimator and thus measure the quality of it, we use the loss function related to the absolute error. The work of this thesis follows the minimax approach for which the goal is to find a lower bound of the asymptotic minimax risk and then to construct an estimator, said asymptotically efficient, for which the maximum risk reaches asymptotically this bound. For a nonparametric autoregressive model where the autoregressive function is supposed to belong to a weak H\"{o}lder class with known regularity, we show that a kernel estimator is asymptotically efficient. When the regularity of the autoregressive function is unknown, we get the minimax adaptive convergence rate of estimators on a family of H\"{o}lderian classes.\\
Cette thèse se consacre à l'estimation non paramétrique pour les modèles autorégressifs. Nous considérons le problème de l'estimation d'une fonction inconnue en un point fixe à l'aide de données régies par des modèles autorégressifs. Pour définir le risque associé à l'emploi d'un estimateur et ainsi mesurer la qualité de celui-ci, nous utilisons la fonction de perte liée à l'erreur absolue. Le travail de cette thèse suit l'approche minimax dont l'objectif est de trouver une borne inférieure asymptotique du risque minimax puis de construire un estimateur, dit asymptotiquement efficace, dont le risque maximal atteint asymptotiquement cette borne. Pour un modèle autorégressif non paramétrique où la fonction autorégressive est supposée appartenir à une classe H\"{o}ldérienne faible de régularité connue, nous montrons qu'un estimateur à noyau est asymptotiquement efficace. Lorsque la régularité de la fonction autorégressive est inconnue, nous obtenons la vitesse de convergence minimax adaptative des estimateurs sur une famille de classes H\"{o}ldériennes.\\
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