Dynamics omplexity of diffusive predator-prey models and applications
Complexité de dynamiques de modèles proie-prédateur avec diffusion et applications
Résumé
This thesis is part of the modeling of interactions between hosts and biological pest control. The main objective is to present a rigorous mathematical analysis and numerical simulation of these spatiotemporal models. We describe the classification and categorization of the emergence spatial structures based on control parameters. In the first part of the thesis, we consider a two species food chain, i.e. a prey and predator populations modeled by a system of reaction-diffusion. We study the qualitative analysis of solutions, global and local bifurcations, and determine the spatiotemporal patterns formation. We demonstrate the existence of "Traveling Waves" by the tools of functional analysis by generalizing the method developed by S. Ahmad. A similar mathematical study is conducted within a three food chain species consisting of prey, a predator and a super-predator. In the last chapter, we formulate and analyse a mathematical model of cancer gene therapy. The model takes into account both the population dynamics of cancer cells, virus replication and immune response that recognizes viral antigens in cancer cells. We establish sufficient conditions under which the endemic and trivial equilibria are asymptotically stable. If the tumor cannot be completely removed, we determine the conditions for optimal therapy and or estimate the simulation time of patient survival.
Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la modélisation des interactions entre hôtes et auxiliaires de lutte biologique. L'objectif principal est de faire l'analyse mathématique et la simulation numérique des modèles spatiotemporels construits. Il s'agit de déterminer la typologie et la catégorisation des structures spatiales émergentes en fonction des paramètres de contrôle. Nous considérons dans la première partie de la thèse, une chaîne alimentaire de deux espèces, c'est à dire une population de proies et une population de prédateurs modélisées par un système de réaction-diffusion. Nous étudions l'analyse qualitatives des solutions, les bifurcations globales et locales, et déterminons les conditions de variation spatiales et temporales des motifs. Nous démontrons l'existence de "Travelling waves" par les outils d'analyse fonctionnelle en généralisant la méthode développée par S. Ahmad. Une étude mathématique similaire est menée dans le cadre d'une chaîne alimentaire de trois espèces constituée d'une proie, d'un prédateur et d'un super-prédateur. Le dernier chapitre de cette thèse est consacré à la construction et l'étude d'un modèle mathématique de type réaction-diffusion de la thérapie génétique du cancer. Le modèle prend en considération à la fois la dynamique de la population des cellules cancéreuses, des virus réplicatifs et de la réponse immunitaire qui reconnait les antigènes viraux dans les cellules cancéreuses. Nous établissons les conditions de stabilité de l'état d'équilibre endémique et celui correspondant à l'élimination de la tumeur. Si la tumeur ne peut pas être complétement guérie, nous déterminons les conditions d'une thérapie optimale et estimons par simulation le temps de survie du patient.
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