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Detailed view PhD thesis
Université de Caen (31/10/2008), Gilbert Levitt (Dir.)
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Plongements élémentaires dans un groupe hyperbolique sans torsion
Chloé Perin1

L'objet de cette thèse est d'obtenir une description des plongements élémentaires (au sens de la logique du premier ordre) dans un groupe hyperbolique sans torsion. Le résultat principal décrit ces plongements en terme d'une structure définie par Sela dans sa solution au problème de Tarski: la structure de tour hyperbolique. Ainsi, si H est plongé élementairement dans un groupe hyperbolique sans torsion G, on peut obtenir G en amalgamant successivement des groupes de surfaces à bord à un produit libre de H avec des groupes libres et des groupes de surfaces sans bord. Ceci permet en corollaire de montrer qu'un sous-groupe plongé élémentairement dans un groupe libre de type fini est un facteur libre. Les techniques utilisées pour obtenir cette description sont essentiellement géométriques: actions sur des arbres réels ou simpliciaux, existence de décompositions JSJ. On s'appuie également sur des résultats d'existence d'ensembles de factorisation qui affirment que pour certains groupes A de type fini, étant donné un groupe hyperbolique sans torsion G, il existe un ensemble fini de quotients de A tel que tout morphisme non injectif de A vers G se factorise par l'un de ces quotients après précomposition par un automorphisme de A. On expose une preuve de ces résultats, y compris une version complète et détaillée du shortening argument de Rips et Sela. Le shortening argument montre, grâce à l'analyse de Rips des actions sur des arbres réels, que si une suite d'action d'un groupe A sur des espaces hyperboliques converge vers un A-arbre réel d'un certain type, alors une infinité de ces actions peuvent être raccourcies.
1:  LMNO - Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme
groupes – théorie géométrique des – logique du premier ordre – arbres (théorie des graphes) – groupes libres – actions de groupes (mathématiques) – amalgames (théorie des groupes) – problème de Tarski – tours hyperboliques de Sela – sous-structures élémentaires
http://www.math.huji.ac.il/~perin/Documents/ThesisPerin.pdf

Elementary embeddings in torsion-free hyperbolic groups
The purpose of this thesis is to describe first-order logic elementary embeddings in a torsion-free hyperbolic group. The main result gives such a description in terms of a structure that Sela introduced in his answer to Tarski's problem: the structure of hyperbolic tower. Thus, if H embedds elementarily in a torsion free hyperbolic group G, the group G can be obtained by successive amalgamations of groups of surfaces with boundary to a free product of H with some free group and groups of surfaces without boundary. This gives as a corollary that an elementary subgroup of a finitely generated free group is a free factor. The techniques used to obtain this description are mostly geometric, as for example actions on real or simplicial trees, or the existence of JSJ splittings. We also rely on the existence of factor sets, namely the fact that for some finitely generated groups A, given a torsion-free hyperbolic group G, there exists a finite set of quotients of A such that any non-injective morphism from A to G factors through one of the corresponding quotient maps up to precomposition by an automorphism of A. We give a full proof of these results, including a detailed version of Rips and Sela's shortening argument. The shortening argument shows, using Rips' analysis of actions on real trees, that if a sequence of actions of A on hyperbolic spaces converges to a real A-tree of a specific type, then infinitely many of the actions can be shortened.
geometric group theory – first order logic – trees (graph theory) – free groups – group actions – amalgamated products – Tarski's problem – Sela's hyperbolic towers – elementary submodels

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