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Université Nice Sophia Antipolis (04/12/2008), Pierre Bernhard (Dir.)
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Évaluation d'options "vanilles" et "digitales" dans le modèle de marché à intervalles
Stéphane Thiery1

Au cours de cette thèse nous nous sommes intéressé à un jeu minimax différentiel et multi-étages à horizon fini (échéance), motivé par un problème d'évaluation d'options européennes. Le jeu différentiel est en dimension 3 plus temps. Il comporte une commande à la fois continue et impulsionnelle et une commande bornée, ainsi qu'un coût terminal discontinu dans le cas d'une option "digitale" dont l'étude constitue le coeur de la thèse. Ce jeu résulte d'une approche par commande robuste sur l'ensemble des trajectoires de prix permises par l'hypothèse du modèle de marché à intervalles pour le cours de l'actif sur lequel est assise l'option. Du point de vue des techniques financières, notre but est de développer en parallèle une théorie d'évaluation d'options en temps continu et en temps discret, en présence de coûts de transaction et à modèle de marché invariant. Nous obtenons la prime et la stratégie de transaction conseillées au cours du jeu. Notre théorie se veut donc une théorie normative (d'aide à la décision). Pour chaque jeu différentiel, nous utilisons une analyse géométrique des trajectoires extrémales et singulières du jeu qualitatif impulsionnel à cible unique à l'échéance, avec des outils géométriques de la théorie d'Isaacs-Breakwell. Cette analyse nous permet de résoudre complètement le problème. La solution obtenue s'avère riche en variétés singulières de codimension 2, à savoir qu'elle exhibe une dispersion, des variétés équivoques et une variété focale. Cette étude géométrique aboutit à une formule de représentation de la fonction Valeur. faisant intervenir la solution d'un système de deux EDP linéaires couplées du premier ordre. Nous complétons cette étude par une vérification analytique, plus classique, qui consiste à montrer que la fonction construite par la formule de représentation est solution de viscosité de l'équation d'Isaacs associée à un jeu différentiel standard sans commande impulsionnelle ayant la même valeur que le jeu initial. Pour chaque jeu multi-étages, la résolution se fait par le biais d'un algorithme de programmation dynamique classique. Cet algorithme aboutit à une formule de représentation de la Valeur, dont la forme est assez similaire à celle de la solution du jeu différentiel. Il en découle un algorithme rapide applicable en pratique. Nous montrons également la convergence monotone décroissante de la solution du jeu multi-étages vers celle du jeu différentiel lorsque le pas de temps tend vers 0, aussi bien pour une option "vanille" que "digitale", sans changer de modèle d'actif au fur et à mesure que l'on réduit le pas de temps. En conséquent, l'algorithme rapide en temps discret fournit une bonne approximation de la solution (prime et stratégie) en temps continu. Nous terminons ce manuscrit par une analyse critique de la solution du point du vue financier avec en particulier une étude de la robustesse du modèle de marché et une comparaison avec la théorie de F.Black et M.Scholes. Nous insistons sur le fait qu'en aucun cas nous n'avons la prétention de proclamer une quelconque supériorité de notre théorie sur celle de F.Black et M.Scholes. Nous souhaitons seulement montrer qu'elle peut être une alternative en temps discret et/ou en présence de coûts de transaction significatifs, au détriment de la complétude du modèle de marché.
1:  Laboratoire d'Informatique, Signaux, et Systèmes de Sophia-Antipolis (I3S) / Equipe SYSTEMES
jeux dynamiques – commande robuste – jeu différentiel – contrôle impulsionnel – jeu qualitatif – variétés singulières – jeu quantitatif – solution de viscosité – mathématiques financières – évaluation d'option en temps continu et en temps discret – coûts de transaction – modèle de marché à intervalles – stratégie de couverture – marché incomplet

Vanilla and digital options pricing with an interval market model
We investigate a finite horizon minimax differential game and multistage game, arising in an european options pricing problem. The differential game proceeds in a 3D plus time space. Its main features are, on the one hand, to mix a continuous and an impulse control for the same player and, on the other hand, in the case of digital options, to have a discontinuous terminal cost function. This minimax game results from a robust control approach on the admissible set of underlying stock price trajectories, without endowing this set with any probability law, as prescribed by the hypothesis of an interval model market. From the mathematical finance view point, our objective is to develop a consistent option pricing theory, both in continuous and discrete trading within the same market model, with transaction costs. We obtain the premium as the Value function and the hedging strategy as the optimal feedback strategy. In the continuous trading framework, we develop a detailed analysis of the extremal trajectories of the impulsive qualitative game with target at horizon time, via tools of the Isaacs-Breakwell Theory (semipermeability). This analysis allows us to completely solve the problem. The solution involves many singularities: dispersal manifold, equivocal junctions, and a focal manifold, of dimension 2, with jump trajectories. Moreover we obtain a representation theorem for the Value function in terms of a solution of a set of two linear coupled PDEs. We end up the investigation of the continuous theory by a more classical analytic verification, showing that the Value we exhibit via the representation theorem is a viscosity solution of the Isaacs equation of a free end-time game without impulse control which has the same Value as our differential game. In the discrete trading framework, we use a classical dynamic programming approach. It yields a representation theorem similar to that of the continuous theory, which provides a fast algorithm to compute numerically both the premium and the trading strategy. We also prove the convergence of the Value function of the multistage game toward that of the continuous time game when the time step vanishes, for both the vanilla and digital options. Hence the fast algorithm also gives us a good approximation of the solution (premium and trading strategy) of the continuous time theory. We conclude this dissertation by a discussion of the relevance of our result in the mathematical finance framework, including, a study of the robustness of the hedging strategy to violations of the hypothesis of the market model. Discussing the strengths and the weaknesses of our theory as compared to the Black and Scholes theory, we stress that we do not claim any kind of overall superiority of our theory, but only that this is a possible approach that, with large transaction costs and/or in discrete trading, may be an interesting alternative. This in spite of a major weakness arising from the incompleteness of our market model.

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