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Fiche détaillée Thèses
Université Paris-Diderot - Paris VII (19/02/2010), Russ Harmer (Dir.)
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Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité
Pierre Clairambault1

Cette thèse s'articule autour de l'utilisation de stratégies totales pour la représentation des preuves. La première partie porte sur le cadre finitaire. L'analyse commence dans un univers syntaxique : on définit un lambda-calcul unaire fortement normalisant, pour lequel on rappelle la machine à pointeurs (PAM). On réduit le problème de préservation de la totalité par composition à un problème de finitude sur des objets appelés structures de pointeurs. On donne trois preuves différentes de ce résultat de finitude. La première se ramène via la PAM à la normalisation du lambda-calcul unaire, la seconde passe par l'extraction d'une réduction simple sur les arbres d'entiers et la troisième s'inspire d'un argument combinatoire de Coquand. La seconde partie traite d'un calcul de séquents mu-LJ équipé de définitions inductives et coinductives, dans lequel on donne une simulation du système T. On définit les catégories mu-fermées, formant une classe de modèles de mu-LJ. Dans le cadre des jeux on définit les arènes ouvertes, munies de variables de type libres. À chacune de ces arènes ouvertes est associé un foncteur ouvert sur la catégorie des stratégies innocentes. On décrit ensuite sur les arènes ouvertes une construction de boucle dont on montre qu'elle rejoint le modèle de McCusker des types récursifs. Les boucles sont alors enrichies par des conditions de gain inspirées des jeux de parité, ce qui équipe les foncteurs ouverts d'algèbres initiales et coalgèbres terminales et construit une catégorie mu-fermée. On propose finalement une extension de mu-LJ à une syntaxe infinie, pour laquelle le modèle est pleinement complet.
1 :  PPS - Preuves, Programmes et Systèmes
Sémantique de jeux – lambda-calcul – théorie de la preuve – induction – coinduction

Logic and Interaction : a Semantic Study of Totality
This thesis deals with the problem of using total strategies for the interpretation of proofs. The first part is about finitary logic. The analysis begins within a syntactical framework : we define a unary strongly normalizing lambda calculus, for which we recall the pointer abstract machine (PAM). We reduce the problem of preservation of totality by composition to a finiteness theorem on objects we call pointer structures. We give three different proofs of this result. The first uses a reduction to the normalization of the unary lambda calculus via the PAM, the second extracts from the problem a simple reduction on trees of integers, whereas the third uses a combinatorial argument of Coquand. The second part is a study of a sequent calculus mu-LJ with inductive and coinductive definitions, in which we give a simulation of Gödel's system T. We define the notion of mu-closed categories, which are models of mu-LJ. In the framework of games we define open arenas (arenas with free type variables). To each of these arenas we associate an open functor on the category of arenas and innocent strategies. We then describe on open arenas a loop construction, which we relate to McCusker's model of recursive types. Loops are enriched with winning conditions imported from parity games, which provide initial algebras and terminal coalgebras to open functors and builds a mu-closed category of games and total innocent strategies. Finally, we give an extension of mu-LJ to an infinite syntax, for which our model is fully complete.
game semantics – lambda-calculus – proof theory – induction – coinduction

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