Study of some subvarieties of semisimple symmetric Lie algebras

Etude de quelques sous-variétés des algèbres de Lie symétriques semi-simples.

Michaël Bulois (1)

1 LM-Brest - Laboratoire de Mathématiques

Lie algebras were introduced toward the end of XIXth century in order to study some geometrical problems. In the aim of classifying these objects, the notion of semisimple Lie algebra is crucial. The symmetric Lie algebras are a generalization of Lie algebras. Furthermore, there exists a bijective correspondence between real Lie algebras and complex symmetric Lie algebras, strenghtening the interest in this notion. There is an important second level of structure concerning (semisimple complex) Lie algebras. It is about considering the Lie algebra g as a G-variety where G is the adjoint group of g. We can then study it in the framework of algebraic geometry. In this way, some geometric properties of some subvarieties of Lie algebras have been studied. My work consisted into understanding and generalizing some properties of analogue varieties of symmetric Lie algebras

Les algèbres de Lie ont été introduites vers la fin du XIXème siècle afin d'étudier certains problèmes de nature géométrique. Dans un soucis de classification de ces objets, les algèbres de Lie semi-simples se sont vues conférer un rôle important. Les algèbres de Lie symétriques sont, elles, une généralisation des algèbres de Lie. De plus, il existe une correspondance bijective entre les algèbres de Lie réelles et les algèbres de Lie symétriques complexes, ce qui renforce l'intérêt porté à ces dernières. Un second niveau de structure des algèbre de Lie (semi-simples complexe) joue un rôle important. Il s'agit de considérer l'algèbre de Lie g comme une G-variété où G est le groupe algébrique adjoint de g opérant via l'action adjointe sur g. Il s'avère alors utile d'étudier ceci dans le cadre de la géométrie algébrique. Les propriétés géométriques de certaines variétés issues des algèbres de Lie ont alors pu être étudiées. D'un point de vue général, ce travail consiste à généraliser et comprendre les propriétés de variétés analogues dans les algèbres de Lie symétriques.

Mots clés: Lie algebras; algebraic geometry; symmetric Lie algebras; nilpotent elements

Mots clés: algèbres de Lie; géométrie algébrique; algèbres de Lie symétriques; éléments nilpotents

Domaines: Mathématiques [math]

Michaël Bulois. Etude de quelques sous-variétés des algèbres de Lie symétriques semi-simples.. Mathématiques [math]. Université de Bretagne occidentale - Brest, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00455626⟩