Stochastic expansions and closed pricing formulas of European options
Développement stochastique et formules fermées de prix pour les options européennes
Résumé
This thesis develops a new methodology for deriving analytical approximations of the prices of European options. Our approach smartly combines stochastic expansions and Malliavin calculus to obtain explicit formulas and tight error estimates. The striking feature of these formulas is their rapidity to be evaluated (as quick as Black and Scholes formula). Our motivation comes from the increasing need for real-time computations and calibration procedures, while controlling numerical errors with respect to the model parameters. We deal then with four classes of models and we perform parameterization specific to each model in order to obtain the good model proxy and user's friendly correction terms. The four parts are: the jump diffusions, the local volatilities or model à la Dupire, the stochastic volatilities and finally hybrid models (rates-equity). We notice also that the error of our approximation is expressed as a function of all the specific model parameters and is analyzed according to the payoff smoothness.
Cette thèse développe une nouvelle méthodologie permettant d'établir des approximations analytiques pour les prix des options européennes. Notre approche combine astucieusement des développements stochastiques et le calcul de Malliavin afin d'obtenir des formules explicites et des évaluations d'erreur précises. L'intérêt de ces formules réside dans leur temps de calcul qui est aussi rapide que celui de la formule de Black et Scholes. Notre motivation vient du besoin croissant de calculs et de procédures de calibration en temps réel, tout en contrôlant les erreurs numériques reliées aux paramètres du modèle. On traite ainsi quatre catégories de modèles, en réalisant des paramétrisations spécifiques pour chaque modèle afin de mieux cibler le bon modèle proxy et obtenir ainsi des termes correctifs faciles à évaluer. Les quatre parties traitées sont : les diffusions avec sauts, les volatilités locales ou modèles à la Dupire, les volatilités stochastiques et finalement les modèles hybrides (taux-action). Il faut signaler aussi que notre erreur d'approximation est exprimée en fonction de tous les paramètres du modèle en question et est analysée aussi en fonction de la régularité du payoff.
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