Study of some small eigenvalues of the Witten Laplacian
Études de petites valeurs propres du Laplacien de Witten
Abstract
In this PhD thesis, the exponentially small eigenvalues of some self-adjoint realization of the Witten Laplacian are accurately computed. More precisely, the Neumann type realization of the Witten Laplacian on a manifold with boundary is considered. This study continues previous works by B. Helffer, M. Klein and F. Nier in the case without boundary, and by B. Helffer and F. Nier in the case of Dirichlet type boundary conditions. Moreover, a fine treatment near the boundary has been needed to complete properly this analysis. It has notably required the construction of WKB approximations of the eigenvectors localized near the boundary for general p-forms.
Dans cette thèse, nous nous inté́ressons à l'é́tude précise de valeurs propres exponentiellement petites du Laplacien de Witten. Plus particulièrement, nous considérons la ré́alisation autoadjointe du Laplacien de Witten agissant sur les fonctions, sur une variété à bord, avec conditions au bord de type Neumann. Cette étude prolonge et complète des travaux de B. Helffer, M. Klein et F. Nier dans le cas sans bord, et de B. Helffer et F. Nier dans le cas d'une varié́té́ à bord, avec conditions au bord de type Dirichlet. La prise en compte de conditions au bord de type Neumann demande de traiter l'analyse au bord avec un niveau de géné́ralité plus large que dans les travaux antérieurs. En particulier la construction de solutions WKB doit être abordée dans le cadre géné́ral des p-formes.