Étude des systèmes algébriques surdéterminés. Applications aux codes correcteurs et à la cryptographie

Magali Bardet (1)

1 LITIS - Laboratoire d'Informatique, de Traitement de l'Information et des Systèmes

Gröbner bases constitute an important tool for solving algebraic systems of equations, and their computation is often the hard part of the resolution. This thesis is devoted to the complexity analysis of Gröbner basis computations for overdetermined algebraic systems (the number m of equations is greater than the number n of variables). In the generic (”random”) case, tools exist to analyze the complexity of Gröbner basis computations for a non overdetermined system (regular sequences, Macaulay bound). We extend these results to the overdetermined case, by defining the semiregular sequences and the degree of regularity for which we give a precise asymptotic analysis. For example as soon as m > n we gain a factor 2 on the Macaulay bound, and a factor 11,65 when m = 2n (these factors are reflected on the exponent of global complexity). We determine the complexity of the F5 Algorithm (J-C. Faugère) for computing Gröbner bases. These results are applied in information theory, where the systems are then considered modulo 2 : analysis of the complexity of the algebraic attacks on cryptosystems, algorithms for the decoding of cyclic codes. In this last case, a new equation set-up of this problem leads to use systems of positive dimension for which the resolution is in a surprising way faster. We thus obtain an effective algorithm for decoding codes previously undecodable, allowing list decoding and applicable to any cyclic code.

Les bases de Gröbner constituent un outil important pour la résolution de systèmes d'équations algébriques, et leur calcul est souvent la partie difficile de la résolution. Cette thèse est consacrée à des analyses de complexité de calculs de bases de Gröbner pour des systèmes surdéterminés (le nombre m d'équations est supérieur au nombre n d'inconnues). Dans le cas générique (”aléatoire”), des outils existent pour analyser la complexité du calcul de base de Gröbner pour un système non surdéterminé (suites régulières, borne de Macaulay). Nous étendons ces résultats au cas surdéterminé, en définissant les suites semi-régulières et le degré de régularité dont nous donnons une analyse asymptotique précise. Par exemple dès que m > n nous gagnons un facteur 2 sur la borne de Macaulay, et un facteur 11,65 quand m = 2n (ces facteurs se répercutent sur l'exposant de la complexité globale). Nous déterminons la complexité de l'algorithme F5 (J-C. Faugère) de calcul de base de Gröbner. Ces résultats sont appliqués en protection de l'information, où les systèmes sont alors considérés modulo 2 : analyse de la complexité des attaques algébriques sur des cryptosystèmes, algorithmes de décodage des codes cycliques. Dans ce dernier cas, une remise en équation complète du problème conduit à utiliser des systèmes de dimension positive dont la résolution est de manière surprenante plus rapide. Nous obtenons ainsi un algorithme de décodage efficace de codes précédemment indécodables, permettant un décodage en liste et applicable à tout code cyclique.

Mots clés: Bases de Gröbner; algorithme F5; Codes correcteurs d'erreur; décodage des codes cycliques; analyse asymptotique; Fonction d'Airy

Domaines: Autre [cs.OH]

Magali Bardet. Étude des systèmes algébriques surdéterminés. Applications aux codes correcteurs et à la cryptographie. Autre [cs.OH]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00449609⟩