New numerical methods for the Stokes and Level Set Equations
Nouvelles approximations numériques pour les équations de Stokes et l'équation Level Set
Résumé
This thesis work is devoted to two research topics in Scientific Computing related to the numerical approximation of problems in fluids mechanics. The first topic relates to the numerical approximation of Stokes equations, modelling the "slow" flows of incompressible fluids. It considers the approximation by a method of projection for the discretization in time. The discretization in space uses the finite element method mixed hybrids making it possible to impose in an exact way the incompressibility constraint. This approach is original since it allows to couple the hybrid mixed finite elements with a method standard finite element while preserving the order of convergence of the two methods. The second topic relates to the development of finite volume schemes for the resolution of the Level Set equation. These equations intervene in an essential way in the resolution of problems of propagation of interfaces. ln this part, we developed a new second order method of MUSCL type to solve the hyperbolic system resulting from the Level Set equation. We illustrate these properties by numerical applications. In particular we looked at the case of the problem of the two half-planes for whieh our scheme gives an approximation for the gradient of the level set function. ln addition, the expected order of accuracy is reached for the standard $L_1$ and $L_{\infty}$ norms for regular functions. Finally, it should be noted that our method can easily be extended to Hamilton-Jacobi problems of first and second orders.
Ce travail de thèse est consacré à deux thèmes de recherche en Calcul Scientifique liés par l'approximation numérique de problèmes en mécanique des fluides. Le premier thème concerne l'approximation numérique des équations de Stokes, modélisant les écoulements de fluides incompressibles à vitesse faible. Ce thème est présent dans plusieurs travaux en Calcul Scientifique. La discrétisation en temps est réalisée à l'aide de la méthode de projection. La discrétisation en espace utilise la méthode des éléments finis mixtes hybrides qui permet d'imposer de façon exacte la contrainte d'incompressibilité. Cette approche est originale: la méthode des éléments mixtes hybrides est couplée avec une méthode d'éléments finis standards. L'ordre de convergence des deux méthodes est préservé. Le second thème concerne la mise au point de méthodes numériques de type volumes finis pour la résolution de l'équation Level Set. Ces équations interviennent de manière essentielle dans la résolution des problèmes de propagation d'interfaces. Dans cette partie, nous avons développé une nouvelle méthode d'ordre 2 de type MUSCL pour résoudre le système hyperbolique résultant de l'équation Level Set. Nous illustrons ces propriétés par des applications numériques. En particulier nous avons regardé le cas du problème des deux demi-plans pour lequel notre schéma donne une approximation pour le gradient de la fonction Level Set. Par ailleurs, l'ordre de précision attendu est obtenu avec les normes $L_1$ et $L_{\infty}$ pour des fonctions régulières. Pour finir, il est à noter que notre méthode peut être facilement étendue aux problèmes d'Hamilton-Jacobi du premier et du second ordre.
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