Interacting particle systems: stochastic order, attractiveness and random walks on small world graphs.

Systèmes de particules en interaction: ordre stochastique, attractivité et marches aléatoires sur graphes small world.

Davide Borrello (1)

1 LMRS - Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

The main subject of the thesis is concerned with interacting particle systems, which are classes of spatio-temporal stochastic processes describing the evolution of particles in interaction with each other. The particles move on a finite or infinite discrete space and on each element of this space the state of the configuration is integer valued. Configurations of particles evolve in continuous time according to a Markov process. Here the space is either the infinite deterministic d-dimensional lattice or a random graph given by the finite d-dimensional torus with random matchings. In Part I we investigate the stochastic order in a particle system with multiple births, deaths and jumps on the d-dimensional lattice: stochastic order is a key tool to understand the ergodic properties of a system. We give applications on biological models of spread of epidemics and metapopulation dynamics systems. In Part II we analyse the coalescing random walk in a class of finite random graphs modeling social networks, the small world graphs. We derive the law of the meeting time of two random walks on small world graphs and we use this result to understand the role of random connections in meeting time of random walks and to investigate the behavior of coalescing random walks.

Le sujet principal de la thèse sont les systèmes de particules en interaction sur des graphes soit deterministes soit aléatoires. Les systèmes de particules en interaction sont des processus de Markov qui décrivent l'évolution de particules indistingables en interaction forte les unes avec les autres qui sont utilisés pour modéliser des phénomènes d'épidémies, de dynamiques des populations ou des processus chimiques. Dans la première partie de la thèse nous avons analysé l'ordre stochastique et l'attractivité dans une classe de systèmes de particules avec des naissances, des morts et des sauts de plus d'une particule à la fois qui dépendent de la conguration de manière très générale: nous avons utilisé l'attractivité pour obtenir des resultats d'ergodicité pour des modèles d'epidemie et pour construire des mesures invariantes non-triviales pour des modèles de dinamiques de métapopulations. Dans la deuxième partie de la thèse nous avons analysé les marches aléatoires coalescentes sur des graphes aléatoires, les graphes small world. Nous avons montré que le nombre de particules d'un processus de n marches aléatoires coalescentes renormalisées qui partent d'une ensemble particulier sur le small world converge vers un processus coalescent de Kingman. Nous avons aussi obtenu des resultats detaillés sur le temps de rencontre de deux particules sur le small world.

Mots clés: Interacting particle systems; attractiveness; stochastic order; metapopulation dynamics; Allee effect; small world graphs; coalescing random walks

Mots clés: Systèmes de particules en interaction; ordre stochastique; attractivité; dynamique de métapopulations; effet Allee; graphes small world; marches aléatoires coalescentes

Domaines: Mathématiques [math]

Davide Borrello. Interacting particle systems: stochastic order, attractiveness and random walks on small world graphs.. Mathematics [math]. Université de Rouen, 2009. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00444577⟩