Dynamics on spaces of representations of non-orientable surfaces
Dynamique sur les espaces de représentations de surfaces non-orientables
Abstract
We consider the space of representations Hom(Pi,G) of a surface group Pi into a Lie group G, and the moduli space X(Pi,G) of G-conjugacy classes of such representations. These spaces admit a natural action of the mapping class group of the underlying surface S, and this actions displays very rich dynamics depending on the choice of the Lie group G, and on the connected component of the space that we consider. In this thesis, we focus on the case when S is a non-orientable surface. In the rst part, we study the dynamical properties of the mapping class group actions on the moduli space X(Pi,SU(2)) and prove that this action is ergodic when the Euler characteristic of the surface is less than -1 with respect to a natural measure on the space. In the second part, we show that the representation space Hom (Pi , PSL(2,R)) has two connected components indexed by a Stiefel-Whitney class.
Nous considérons l'espace de représentations Hom(Pi,G) d'un groupe de surface Pi dans un groupe de Lie G, et l'espace de modules X(Pi,G) des classes de conjugaison de ces représentations. Le groupe modulaire de la surface sous-jacente agit naturellement sur ces espaces, et cette action possède une dynamique très riche qui dépend du choix du groupe de Lie G, et de la composante connexe de l'espace sur laquelle on se place. Dans cette thèse, nous étudions le cas où S est une surface non-orientable. Dans la première partie, nous étudions les propriétés dynamiques de l'action du groupe modulaire sur l'espace de modules X(Pi, SU(2)) et prouvons que cette action est ergodique lorsque la caractéristique d'Euler de la surface est inférieure à -2. Dans la deuxième partie, nous montrons que l'espace des représentations Hom(Pi, PSL(2,R)) possède deux composantes connexes indexées par une classe de Stiefel-Whitney.
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