Sampled surface reconstruction model using the level set method, and applications
Modèle de reconstruction d'une surface échantillonnée par un méthode de ligne de niveau, et applications
Abstract
Over the last years, surface reconstruction from sampled data remains an important and active area of research. The challenge is then to handle a wide range of geometries and topologies. The aim of this work is to find a regular surface (typically C2 continuous), denoted by Gamma, fitting at best a given set of point V, i.e. such that the Euclidian distance d(x,Gamma ) is minimal for all x in V. We formulate the problem using a partial differential equation which characterizes the evolution of a surface Gamma(t). This PDE relies on an attraction term, which involves the distance to the data set, and on a surface tension term which preserves the regularity of Gamma(t) during its evolution. We show that the problem is well-posed, its solution exists and is unique. This PDE is numerically formulated using the level set method, and it is solved using specific numerical schemes (with an approximation of the first and second order space derivatives in each node of the mesh), adapted anisotropic triangulations (in order to improve the numerical approximation of the manifold). From the analytical point of view, we show that the schemes are consistent and L2 stable. Some application examples are presented to illustrate the efficiency of our approach.
La reconstruction de surface, à partir de données échantillonnées, est un thème de recherche important et très actif depuis quelques années. L'enjeu est de pouvoir générer toute sorte de géométries et de topologies. Le but de ce travail est de trouver une surface régulière Gamma (typiquement de classe C2), passant au plus près de tous les points d'un échantillon V donné, c'est-à-dire telle que la distance euclidienne d(x, Gamma) soit minimale pour tout x dans V. Pour cela, on formule le problème à l'aide d'une équation aux dérivées partielles qui va caractériser l'évolution d'une surface Gamma(t). Cette EDP est composée d'un terme d'attraction, qui permet à Gamma(t) d'avancer jusqu'à V, et d'un terme de tension de surface, dont le rôle est de préserver la régularité de Gamma(t) au cours du temps. On montre d'abord que le problème est bien posé, c'est-à-dire que sa solution existe et qu'elle est unique. Cette EDP est ensuite résolue numériquement à l'aide de la méthode des lignes de niveau, et grâce à des schémas numériques spécifiques (avec approximation des dérivées d'ordre un et deux en espace en chaque noeud du maillage), sur des triangulations adaptées et anisotropes (pour améliorer la précision du résultat). D'un point de vue analyse, on montre que ces schémas sont consistants et stables en norme L2. Des exemples d'applications sont présentés pour illustrer l'efficacité de notre approche.
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