Méthodes Combinatoires et Algébriques en Complexité de la Communication
Résumé
Communication complexity was introduced in 1979 by Andrew Chi-Chi Yao. It has since become a central model of complexity. The model addresses problems whose inputs are shared among different players, who have to communicate in order to solve it. We first use Kolmogorov complexity, an algorithmic characterization of randomness, to prove lower bounds on communication complexity. Our method is a generalization of the well-known incompressibility method. One important aspect of our method is to emphasize the combinatorial structure of the proofs. We then focus on the simulation of non-signaling distributions using communication. This model encompasses traditionnal communication complexity and the simulation of distributions arising from bipartite measurement of quantum states. We show upper and lower bounds on this problem. In the case of boolean functions, the lower bound we prove is equivalent to the factorization norm, a powerful method introduced by Linial and Shraibman in 2006. Finally, we study non-local box complexity. This resource has been introduced by Popescu and Rohrlich to study non-locality. The problem is to quantify the number of boxes required to compute a boolean function or simulate a distribution. We prove upper and lower bounds for these problems, and show applications to secure function evaluation, an important cryptographic task.
La complexité de la communication a été introduite en 1979 par Andrew Chi-Chi Yao. Elle est depuis devenue l'un des modèles de calcul les plus étudiés. L'objectif de celle-ci est d'étudier des problèmes dont les entrées sont distribuées entre plusieurs joueurs, en quantifiant la communication que ceux-ci doivent échanger. Nous utilisons d'abord la complexité de Kolmogorov, une caractérisation algorithmique de l'aléatoire, pour prouver des bornes inférieures sur la complexité de la communication. Notre méthode constitue une généralisation de la méthode d'incompressibilité. L'avantage de cette approche est de mettre en valeur la nature combinatoire des preuves. Nous étudions ensuite la simulation des distributions de probabilité causales avec de la communication. Ce modèle généralise la complexité de la communication traditionnelle et comprend en particulier les distributions quantiques. Nous montrons pour ce problème des bornes inférieures et supérieures. Dans le cas des fonctions booléennes, la borne inférieure que nous proposons est équivalente aux normes de factorisation, une puissante méthode introduite par Linial et Shraibman en 2006. Enfin, nous étudions la complexité en boîte non-locale. Cette ressource a été introduite par Popescu et Rohrlich pour étudier la non-localité. Le problème est de quantifier le nombre de boîtes nécessaire et suffisant pour calculer une fonction ou simuler une distributions. Nous donnons encore des bornes inférieures et supérieures pour ces problèmes, ainsi que des applications à l'évaluation sécurisée, un problème cryptographique très important.
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