Contributions to the study of some stochastic functionals
Contributions à l'étude de quelques fonctionnelles stochastiques
Résumé
This dissertation is a presentation of contributions to the study of stochastic functionals. These contributions consists both in the theoretical analysis of the laws of functionals (regularity, inequalities of deviation, limit theorems) and in the study of models motivated by applications (mathematical finance, random ball models). The document is organized in three main parts that we shortly describe. In the first part, the laws of different types of stochastic integrals (stable, Wiener-Itô, Poisson) are studied. Considering the integrals as functionals on path-space of processes associated to the random measures of integration, we analyse the regularity of the law (existence of density, convergence in variation with respect to the integrated functions). The second part is devoted to inequalities between laws of probability. The first ones are inequalities of concentration that we propose for functionals on the Poisson space when a gradient (of difference type) satisfies certain bounds. Our results are specialized for various class of functionals (such that vectors of Poisson integrals, quadratic Wiener functionals, stable functionals). The second ones are inequalities for convex comparison for stochastic exponentials or for random vectors with a predictable representation. Applications to bounds for option prices are also considered. The third part gathers together different limit theorems for different convergences and several objects. Convergences in variation are obtained for empirical processes and for variations of Hermite of the fractional Brownian motion. As a consequence, invariance principles are strengthened in the first case and Berry-Esséen type results are obtained in the second case. In models of random ball or of random words, we investigate the fluctuations of some interesting functionals.
Ce mémoire est une présentation de contributions à l'étude de fonctionnelles stochastiques. Ces contributions comportent à la fois des analyses théoriques des lois des fonctionnelles (régularité, inégalités de déviation, théorèmes limites), et des études de modèles motivés par les applications (mathématiques financières, modèles de boules aléatoires). Le mémoire est organisé selon trois thèmes principaux que nous décrivons brièvement. Dans une première partie, les lois de différents types d'intégrales stochastiques (stable, Wiener-Itô, Poisson) sont étudiées. En considérant les intégrales comme des fonctionnelles sur l'espace des trajectoires de processus naturellement associés aux mesures aléatoires d'intégration, nous analysons la régularité des lois (existence de densité, convergence en variation par rapport aux fonctions intégrées). La deuxième partie est consacrée à des inégalités sur les lois de probabilités. Les premières sont des inégalités de concentration qu'on propose pour des fonctionnelles sur l'espace de Poisson lorsque le gradient (de type différence) satisfait certaines bornes. Nos résultats sont spécialisés pour de nombreuses classes de fonctionnelles (parmi lesquelles~: des vecteurs d'intégrales de Poisson, des fonctionnelles de Wiener quadratiques, des fonctionnelles stables). Les secondes sont des inégalités de comparaison convexe pour des exponentielles stochastiques ou des vecteurs à représentation prévisible. Des applications aux bornes de prix d'options financières sont également considérées. La troisième partie regroupe différents théorèmes limites pour différentes convergences et différents objets. Des convergences en variation sont obtenues pour des processus empiriques en renforçant des principes d'invariance, et pour les variations d'Hermite du mouvement brownien fractionnaire en obtenant des résultats de type Berry-Esséen. Dans des modèles de boules aléatoires et de mots aléatoires, ce sont des fluctuations en lois de fonctionnelles d'intérêt que nous analysons.