ARBITRARY ORDER HILBERT SPECTRAL ANALYSIS DEFINITION AND APPLICATION TO FULLY DEVELOPED TURBULENCE AND ENVIRONMENTAL TIME SERIES
Résumé
Empirical Mode Decomposition (EMD), or Hilbert-Huang Transform (HHT) is a novel general time-frequency analysis method for nonstationary and nonlinear time series, which was proposed by NE HUANG more than ten years ago. During the last ten years, there have been more than 1000 papers applying this new method to various applications and research fields. In this thesis we apply this method to turbulence time series for the first time, and to environmental time series. It is found that the EMD acts a dyadic filter bank for fully developed turbulence. To characterize the intermittent properties of a scaling time series, we generalize the classical Hilbert spectral analysis to arbitrary order $q$, performing what we denoted ``arbitrary order Hilbert spectral analysis''. This provides a new frame to characterize scale invariance directly in an amplitude-frequency space, by taking a marginal integral of a joint pdf $p(\omega,\mathcal{A})$ of instantaneous frequency $\omega$ and amplitude $\mathcal{A}$. We first validate the method by analyzing a simulated fractional Brownian motion time series, and by analyzing a synthesized multifractal nonstationary time series respectively for monofractal and multifractal processes. Compared with the classical structure function approach, it is found numerically that the Hilbert-based methodology provides a more precise estimator for the intermittency parameter. Assuming statistical stationarity, we propose an analytical model for the autocorrelation function of velocity increments time series $\Delta u_{\ell}(t)$, where $\Delta u_{\ell}(t)=u(t+\ell)-u(t)$, and $\ell$ is the time increment. With this model, we prove analytically that, if a power law behaviour holds for the original variable, the location of the minimum values of the autocorrelation function is equal exactly to the time separation $\ell$ when $\ell$ belongs to scaling range. A power law behaviour for the minimum values is suggested by this model, and verified by a fractional Brownian motion simulation and a turbulent database. By defining a cumulative function for the autocorrelation function, the scale contribution is then characterized in the Fourier frequency space. It is found that the main contribution to the autocorrelation function comes from the large scale part. The same idea is applied to the second order structure function. It is found the second order structure function is strongly influenced by the large scale part, showing that it is not a good approach to extract the scaling exponent from a given scaling time series when the data possess energetic large scales. We then apply this Hilbert-based methodology to an experimental homogeneous and nearly isotropic turbulent database to characterize multifractal scaling properties of the velocity time series in fully developed turbulence. We obtain a scaling trend in the joint pdf $p(\omega,\mathcal{A})$ with a scaling exponent close to the Kolmogorov value. We recover the structure function scaling exponents $\zeta(q)$ in amplitude-frequency space for the first time. The isotropy hypothesis is then checked scale by scale in amplitude-frequency space. It is found that the generalized isotropy ratio decreases linearly with the order $q$. We also perform the analysis on a temperature (passive scalar) time series with strong ramp-cliff structures. For these data, the traditional structure function fails. However, the new method extracts a clear power law up to $q=8$. The scaling exponents $\xi_{\theta}(q)-1$ is quite close to the scaling exponents $\zeta(q)$ of the longitudinal velocity in fully developed turbulence. We then consider the traditional Extended Self-Similarity (ESS) and the hierarchy model under the Hilbert frame. For the case of ESS, we have here two special cases $q=0$ and $q=3$ to define the ESS in the Hilbert frame. Both of them work for the fully developed turbulence providing the same scaling exponents. Based on the turbulent database we have, it seems that the lognormal model with a proper chosen intermittency parameter $\mu$ provides a better prediction of the scaling exponents. We finally apply the new method to daily river flow discharge and surf zone marine turbulence to characterize the scale invariance under the Hilbert frame.
La Décomposition Modale Empirique (Empirical Mode Decomposition - EMD) ou la Transformation de Hilbert-Huang (HHT) est une nouvelle méthode d'analyse temps-fréquence qui est particulièrement adaptée pour des séries temporelles nonlinéaires et non stationnaires. Cette méthode a été proposée par NE. HUANG. il y a plus de dix ans. Pendant les dix dernières années, plus de 1000 articles ont appliqué cette méthode dans le cadre de diverses applications ou domaines de recherche. Dans cette thèse, nous appliquons cette méthode à des séries temporelles de turbulence, pour la première fois, et à des séries temporelles environnementales. Nous avons obtenu comme résultat le fait que la méthode EMD correspond à un banc de filtre dyadique (ou quasi-dyadique) pour la turbulence pleinement développée. Pour caractériser les propriétés intermittentes d'une série temporelle invariante d'échelle, nous avons généralisé l'analyse spectrale de Hilbert-Huang classique à des moments d'ordre arbitraire $q$, pour effectuer ce que nous avons appelé ``analyse spectrale de Hilbert d'ordre arbitraire''. Ceci fournit un nouveau cadre pour analyser l'invariance d'échelle directement dans un espace amplitude-fréquence, en estimant une intégrale marginale d'une pdf jointe $p(\omega,\mathcal{A})$ de la fréquence instantanée $\omega$ et de l'amplitude $\mathcal{A}$. Nous validons tout d'abord la méthode en analysant des séries temporelles de mouvement Brownien fractionnaire, et en analysant des séries temporelles multifractales synthétiques, en tant que modèle respectivement de processus monofractals et multifractals. Nous comparons les résultats obtenus avec la nouvelle méthode, à l'analyse classique utilisant les fonctions de structure: nous trouvons numériquement que la méthodologie utilisant l'approche de Hilbert fournit un estimateur plus précis pour le paramètre d'intermittence. Avec une hypothèse de stationarité, nous proposons un modèle analytique pour la fonction d'autocorrélation des incréments de séries temporelles de vitesse $\Delta u_{\ell}(t)$, où $\Delta u_{\ell}(t)=u(t+\ell)-u(t)$, et $\ell$ est l'incrément temporel. Dans le cadre de ce modèle, nous prouvons analytiquement que, si une loi de puissance est valide pour la série d'origine, la position minimisant la fonction d'autocorrélation de la variable d'origine est égale exactement au temps de séparation $\ell$ lorsque $\ell$ appartient à la zone invariante d'échelle. Ce modèle prédit une loi de puissance pour la valeur minimum, comportement vérifié par une simulation de mouvement Brownien fractionnaire et à partir de données expérimentales de turbulence. En introduisant une fonction cumulative pour la fonction d'autocorrélation, la contribution en échelle est alors caractérisée dans l'espace de fréquence de Fourier. Nous observons que la contribution principale à la fonction d'autocorrélation provient des grandes échelles. La même idée est appliquée à la fonction de structure d'ordre 2. Nous obtenons que celle-ci est également fortement influencée par les grandes échelles, ce qui montre que ceci n'est pas une bonne approche pour extraire les exposants invariants d'échelle d'une série temporelle lorsque les données sont caractérisées par des grandes échelles énergétiques. Nous appliquons ensuite cette méthodologie Hilbert-Huang à une base de données de turbulence homogène et presque isotrope, pour caractériser les propriétés multifractales invariantes d'échelle des série temporelles de vitesse en turbulence pleinement développée. Nous obtenons un comportement invariant d'échelle pour la pdf jointe $p(\omega,\mathcal{A})$ avec un exposant proche de la valeur de Kolmogorov. Nous estimons les exposants $\zeta(q)$ dans un espace amplitude-fréquence, pour la première fois. L'hypothèse d'isotropie est testée échelle par échelle dans l'espace amplitude-fréquence. Nous obtenons que le rapport d'isotropie généralisé décroit linéairement avec le moment $q$. Nous effectuons également l'analyse d'une série temporelle de température (scalaire passif) possédant un effet de rampe marqué (ramp-cliff). Pour ces données, l'approche traditionnelle utilisant les fonctions de structure ne fonctionne pas. Mais la nouvelle méthode développée dans cette thèse fournit un net régime invariant d'échelle jusqu'au moment $q=8$. Les exposants $\xi_{\theta}(q)-1$ sont très proches des exposants $\zeta(q)$ obtenus par l'approche des fonctions de structure pour la vitesse longitudinale. Nous nous intéressons ensuite à l'auto-similarité étendue (Extended Self Similarity - ESS) dans le cadre Hilbert-Huang. En ce qui concerne la méthode ESS, qui est devenue classique en turbulence, nous adaptons l'approche pour le cas Hilbert-Huang dans un espace de fréquence, et nous constatons que le modèle lognormal, avec un coefficient adéquat, fournit une très bonne estimation des exposants invariants d'échelle. Finalement nous appliquons la nouvelle méthodologie à des données environnementales: des débits de rivières, et des données de turbulence marine dans la zone de surf. Dans ce dernier cas, la méthode ESS permet de séparer les ondes de vent de la turbulence à petite échelle.
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