Algorithmics of word reversing
Aspects algorithmiques du retournement de mot
Abstract
First part: Word reversing is a rewriting operation associated to a presentation (of a semigroup, here). In good cases, reversing yields a solution to the word problem. Otherwise, there is a way to complete a presentation. Now, Gröbner bases also provide a mean to complete a presentation and solve the word problem. We show that these two methods are not the same and exhibit a classification of the different behaviours. We then introduce an extension of word reversing to circumvent the defect of completeness of certain pre- sentations and illustrate its effectiveness on Heisenberg presentation—which is incomplete. Second part: We restrict the study to Artin-Tits presentations of braid monoids. We show that the maximal combinatorial distance between two equivalent braid words is at least quartic in their width. We show simple criteria for a van Kampen diagram (or a reversing diagram) to realize the combinatorial distance between two words. We then compute bounds for two numbers associated to word reversing, and, in particular, for braid words whose width is arbitrarily large: starting from a word, the first one is the maximal length of a sequence of reversings and the second one is the maximal length of the last word (which exists and is unique) of such a sequence. We compute a lower bound (quartic in the length of the initial word) for the first number. For the second number, we establish a cubic (in the length of the initial word) upper bound.
Première partie : Le retournement de mot est une opération de réécriture liée à une présentation (de semigroupe dans ce travail). Dans les bons cas, le retournement donne une solution au problème de mot. Sinon, il existe un moyen d'ajouter des relations à une présentation pour la rendre complète. D'un autre côté, les bases de Gröbner fournissent un moyen de compléter une présentation qui résout le problème de mot. On montre que les deux méthodes sont différentes ; une classification des divergences est proposée. On introduit ensuite une extension du retournement pour contourner le défaut de complétude de certaines présentations et on montre son efficacité sur la présentation d'Heisenberg — qui est incomplète. Deuxième partie : On se restreint aux présentations d'Artin-Tits des monoïdes de tresses. On montre que la distance combinatoire maximale entre deux mots de tresse équivalents est au moins quartique en leur largeur. On montre des critères simples pour qu'un diagramme de van Kampen (ou un diagramme de retournement) réalise la distance combinatoire entre deux mots équivalents. On calcule ensuite des bornes pour deux nombres liés au retournement de mot, et plus particulièrement pour les mots de tresse de largeurs arbitrairement grandes : le premier est, partant d'un mot, la longueur maximale d'une suite de retournements et le second la longueur du mot terminal (qui existe et est unique) d'une telle suite. Pour le premier, on montre une minoration quartique en la longueur du mot de départ ; pour le second, on établit une majoration cubique en la longueur.
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