BOTTOM OF THE SPECTRUM AND GEOMETRY OF MANIFOLDS WITH INFINITE VOLUME
BAS DU SPECTRE ET GEOMETRIE DES VARIETES DE VOLUME INFINI
Résumé
This thesis studies non compact manifolds whose bottom of the spectrum of the Laplacian is an isolated eigenvalue. The general purpose is to link the geometry of these manifolds to some spectral properties.
In Chapter 2, we study $G$-periodic manifolds, which generalize periodic manifolds and coverings. We link the bottom of the spectrum of such a manifold with the one of its fundamental cell and the combinatorics of the underlying graph $G$. We show that these bottom of the spectrum are equal if and only if the graph is amenable.
In Chapter 3, we give a characterization of the bottom of the spectrum of a manifold with boundary through positive $\lambda$-harmonic functions. Then we show that for a generic metric, when the bottom of the spectrum is an isolated eigenvalue the first eigenfunction is Morse. Eventually, we show that for a generic covering, there is a fundamental domain for the action of the deck group on which the lift of the first eigenfunction satisfies Neumann conditions on the boundary. This allows us to apply the results of Chapter 2 to coverings.
In Chapter 4, we present a conjecture due to R. Canary, stating that when deforming a 3D hyperbolic acylindrical and geometrically finite manifold, the bottom of the spectrum is maximal when the boundary of the convex core is smooth. In Chapter 5, a study of the entropy of convex cocompact manifolds with negative pinched curvature allows us to get a variation formula for the bottom of the spectrum in the case of deformations of hyperbolic convex cocompact manifolds.
In Chapter 2, we study $G$-periodic manifolds, which generalize periodic manifolds and coverings. We link the bottom of the spectrum of such a manifold with the one of its fundamental cell and the combinatorics of the underlying graph $G$. We show that these bottom of the spectrum are equal if and only if the graph is amenable.
In Chapter 3, we give a characterization of the bottom of the spectrum of a manifold with boundary through positive $\lambda$-harmonic functions. Then we show that for a generic metric, when the bottom of the spectrum is an isolated eigenvalue the first eigenfunction is Morse. Eventually, we show that for a generic covering, there is a fundamental domain for the action of the deck group on which the lift of the first eigenfunction satisfies Neumann conditions on the boundary. This allows us to apply the results of Chapter 2 to coverings.
In Chapter 4, we present a conjecture due to R. Canary, stating that when deforming a 3D hyperbolic acylindrical and geometrically finite manifold, the bottom of the spectrum is maximal when the boundary of the convex core is smooth. In Chapter 5, a study of the entropy of convex cocompact manifolds with negative pinched curvature allows us to get a variation formula for the bottom of the spectrum in the case of deformations of hyperbolic convex cocompact manifolds.
Cette thèse étudie les variétés non compactes dont le bas du spectre du Laplacien est une valeur propre isolée. L'objectif général est de relier la géométrie de ces variétés à certaines propriétés spectrales.
Au Chapitre 2, nous étudions les variétés $G$-périodiques, qui généralisent les variétés périodiques et les revêtements. Nous relions le bas du spectre d'une telle variété avec celui de sa cellule élémentaire et la combinatoire du graphe $G$ sous-jacent. Nous montrons que les deux bas du spectres sont égaux si et seulement si le graphe est moyennable.
Au Chapitre 3, nous donnons une caractérisation du bas du spectre d'une variété à bord par ses fonctions $\lambda$-harmoniques positives. Puis nous montrons que pour une métrique générique, lorsque le bas du spectre est une valeur propre isolée la première fonction propre est de Morse. Enfin, nous montrons que pour un revêtement générique, on peut construire un domaine fondamental pour l'action du groupe de revêtement sur lequel le relevé de la première fonction propre vérifie les conditions de Neumann. Ceci nous permet d'appliquer les résultats du Chapitre 2 aux revêtements.
Au Chapitre 4, nous présentons une conjecture due à R. Canary, qui prévoit que lorsque l'on déforme une variété hyperbolique de dimension 3 géométriquement finie et acylindrique, le bas du spectre est maximal lorsque le bord du coeur convexe est lisse. Au Chapitre 5, une étude de l'entropie des variétés à courbure négative pincée convexe cocompacte nous permet d'obtenir une formule de variation du bas du spectre dans le cas des déformations des variétés hyperboliques convexe cocompactes.
Au Chapitre 2, nous étudions les variétés $G$-périodiques, qui généralisent les variétés périodiques et les revêtements. Nous relions le bas du spectre d'une telle variété avec celui de sa cellule élémentaire et la combinatoire du graphe $G$ sous-jacent. Nous montrons que les deux bas du spectres sont égaux si et seulement si le graphe est moyennable.
Au Chapitre 3, nous donnons une caractérisation du bas du spectre d'une variété à bord par ses fonctions $\lambda$-harmoniques positives. Puis nous montrons que pour une métrique générique, lorsque le bas du spectre est une valeur propre isolée la première fonction propre est de Morse. Enfin, nous montrons que pour un revêtement générique, on peut construire un domaine fondamental pour l'action du groupe de revêtement sur lequel le relevé de la première fonction propre vérifie les conditions de Neumann. Ceci nous permet d'appliquer les résultats du Chapitre 2 aux revêtements.
Au Chapitre 4, nous présentons une conjecture due à R. Canary, qui prévoit que lorsque l'on déforme une variété hyperbolique de dimension 3 géométriquement finie et acylindrique, le bas du spectre est maximal lorsque le bord du coeur convexe est lisse. Au Chapitre 5, une étude de l'entropie des variétés à courbure négative pincée convexe cocompacte nous permet d'obtenir une formule de variation du bas du spectre dans le cas des déformations des variétés hyperboliques convexe cocompactes.
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