Normalization properties of symmetric logical calculi
La propriété de normalisation pour des calculs logiques symétriques
Abstract
It was realized in the early nineties that the Curry-Howard isomorphism can be extended to the case of the classical logic as well. Several calculi have appeared to provide a suitable background for this extension. This thesis examines some of these calculi w.r.t. various proof theoretical properties.
In the first half of the thesis the simply typed version of the $\lambda \mu$-calculus, defined by Parigot, is studied. It was already proved by Parigot that the $\lambda \mu$-calculus is strongly normalizing. Moreover, David and Nour has proved by an argument formalizable in first-order Peano-arithmetic arithmetical means that the strong normalization is preserved if we expand the calculus with the $\mu'$-rule, that is, if we consider the $\lambda \mu \mu'$-calculus. However, adding to the $\lambda \mu \mu'$-calculus another simplification rule, the $\rho$-rule, the new calculus is no more strongly normalizing. We prove that the untyped $\mu \mu' \rho$-calculus is weakly normalizing, and, as an application of this result, we demonstrate the weak normalization of the typed $\lambda \mu \mu' \rho$-calculus. Afterwards, we examine the effect of the addition of some other simplification rules to the $\mu \mu'$- and to the $\lambda \mu \mu'$-calculi, respectively.
Next, a bound for the lengths of the reduction sequences in the simply typed $\lambda \mu \rho \theta$-calculus is established. We extend a result of Xi presented for the case of the simply typed $\lambda$-calculus.
Then we give an arithmetical proof for the strong normalization of the simply typed part of the symmetric $\lambda$-calculus defined by Berardi and Barbanera.
In the final chapter we define a translation between the simply typed symmetric $\lambda$-calculus of Berardi and Barbanera and the $\overline{\lambda} \mu \widetilde{\mu} \star$-calculus, which is obtained from the $\overline{\lambda} \mu \widetilde{\mu}$-calculus defined by Curien and Herbelin by extending it with a negation. In the concluding part of the chapter, we present an arithmetical proof for the strong normalization of the $\overline{\lambda} \mu \widetilde{\mu} \star$-calculus.
In the first half of the thesis the simply typed version of the $\lambda \mu$-calculus, defined by Parigot, is studied. It was already proved by Parigot that the $\lambda \mu$-calculus is strongly normalizing. Moreover, David and Nour has proved by an argument formalizable in first-order Peano-arithmetic arithmetical means that the strong normalization is preserved if we expand the calculus with the $\mu'$-rule, that is, if we consider the $\lambda \mu \mu'$-calculus. However, adding to the $\lambda \mu \mu'$-calculus another simplification rule, the $\rho$-rule, the new calculus is no more strongly normalizing. We prove that the untyped $\mu \mu' \rho$-calculus is weakly normalizing, and, as an application of this result, we demonstrate the weak normalization of the typed $\lambda \mu \mu' \rho$-calculus. Afterwards, we examine the effect of the addition of some other simplification rules to the $\mu \mu'$- and to the $\lambda \mu \mu'$-calculi, respectively.
Next, a bound for the lengths of the reduction sequences in the simply typed $\lambda \mu \rho \theta$-calculus is established. We extend a result of Xi presented for the case of the simply typed $\lambda$-calculus.
Then we give an arithmetical proof for the strong normalization of the simply typed part of the symmetric $\lambda$-calculus defined by Berardi and Barbanera.
In the final chapter we define a translation between the simply typed symmetric $\lambda$-calculus of Berardi and Barbanera and the $\overline{\lambda} \mu \widetilde{\mu} \star$-calculus, which is obtained from the $\overline{\lambda} \mu \widetilde{\mu}$-calculus defined by Curien and Herbelin by extending it with a negation. In the concluding part of the chapter, we present an arithmetical proof for the strong normalization of the $\overline{\lambda} \mu \widetilde{\mu} \star$-calculus.
Dans les années quatre-vingts-dix, on a remarqué ce que l'isomorphisme de Curry-Howard peut être étendu à la logique classique. De nombreux calculs ont été développés pour constituer la base de cette extension. On étudie dans cette thèse quelques uns de ces calculs.
On étudie tout d'abord le $\lambda \mu$-calcul simplement typé de Parigot. Parigot a prouvé par des méthodes sémantiques que son calcul est fortement normalisable. Ensuite, David et Nour ont donné une preuve arithmétique de la normalisation forte de ce calcul avec la règle $\mu'$ (règle duale de $\mu$). Cependant, si l'on ajoute au $\lambda \mu \mu'$-calcul la règle de simplification $\rho$, la normalisation forte est perdu. On montre que le $\mu \mu' \rho$-calcul non-typé est faiblement normalisable, et que le $\lambda \mu \mu' \rho$-calcul typé est aussi faiblement normalisable. De plus, on examine les effets d'ajouter quelques autre règles de simplification.
On établi ensuite une borne de la longueur des séquences de réduction en $\lambda \mu \rho \theta$-calcul simplement typé.
Ce résultat est une extension de celui de Xi pour le $\lambda$-calcul simplement typé.
Dans le chapitre suivant on présente une preuve arithmétique de la normalisation forte du $\lambda$-calcul symétrique de Berardi et Barbanera.
Enfin, on établi des traductions entre le $\lambda$-calcul symétrique de Berardi et Barbanera et le $\lmts$-calcul, qui est le $\lmt$-calcul de Curien et Herbelin étendu avec une négation. (... qui est obtenu du $\lmt$-calcul de Curien et Herbelin par l'étendre avec une négation).
On étudie tout d'abord le $\lambda \mu$-calcul simplement typé de Parigot. Parigot a prouvé par des méthodes sémantiques que son calcul est fortement normalisable. Ensuite, David et Nour ont donné une preuve arithmétique de la normalisation forte de ce calcul avec la règle $\mu'$ (règle duale de $\mu$). Cependant, si l'on ajoute au $\lambda \mu \mu'$-calcul la règle de simplification $\rho$, la normalisation forte est perdu. On montre que le $\mu \mu' \rho$-calcul non-typé est faiblement normalisable, et que le $\lambda \mu \mu' \rho$-calcul typé est aussi faiblement normalisable. De plus, on examine les effets d'ajouter quelques autre règles de simplification.
On établi ensuite une borne de la longueur des séquences de réduction en $\lambda \mu \rho \theta$-calcul simplement typé.
Ce résultat est une extension de celui de Xi pour le $\lambda$-calcul simplement typé.
Dans le chapitre suivant on présente une preuve arithmétique de la normalisation forte du $\lambda$-calcul symétrique de Berardi et Barbanera.
Enfin, on établi des traductions entre le $\lambda$-calcul symétrique de Berardi et Barbanera et le $\lmts$-calcul, qui est le $\lmt$-calcul de Curien et Herbelin étendu avec une négation. (... qui est obtenu du $\lmt$-calcul de Curien et Herbelin par l'étendre avec une négation).
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