Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes : sur la conjecture de Lang et Silverman.
Résumé
This thesis concentrates on a conjecture made by Lang and Silverman which gives a uniform lower bound for the Néron-Tate height on abelian varieties over number fields. The first chapter provides a background for the understanding of the following chapters and fixes the notations and normalisations used throughout the text. It is proven in the second chapter that the conjecture is true for some classes of abelian surfaces, in particular jacobians with potentially good reduction that lie outside an "epsilon-neighbourhood" of the elliptic curve product locus. This chapter also includes statements towards the uniform torsion bound conjecture and uniform bounds on the number of rational points on curves of genus 2. The third chapter generalizes the previous bounds for heights to jacobians of hyperelliptic curves of greater genus. The fourth chapter studies the restriction of scalars à la Weil and gives an asymptotic result for the height of Heegner points on jacobians of modular curves. The fifth chapter includes explicit formulas useful in dimension 2 and a short study involving isogenies.
Cette thèse est consacrée à l'étude d'une conjecture de Lang et Silverman de minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes sur les corps de nombres. Le premier chapitre décrit le matériel nécessaire à l'étude des chapitres suivants et fixe les notations et normalisations. On montre dans le second chapitre que la conjecture est vraie pour certaines classes de variétés abéliennes de dimension 2, en particulier pour les jacobiennes ayant potentiellement bonne réduction et restant loin des produits de courbes elliptiques dans l'espace de modules. Le second chapitre renferme aussi des corollaires allant dans la direction de la conjecture de borne uniforme sur la torsion et de majoration uniforme du nombre de points rationnels d'une courbe de genre 2. Le troisième chapitre généralise les résultats de minoration du second chapitre aux jacobiennes de courbes hyperelliptiques de genre g supérieur ou égal à 2. Le quatrième chapitre contient une étude de la restriction des scalaires à la Weil et une étude asymptotique de la hauteur des points de Heegner sur les jacobiennes de courbes modulaires. Le cinquième chapitre est une annexe contenant des formules explicites utiles pour la dimension 2 et un paragraphe sur un raisonnement par isogénies.