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Fiche détaillée Thèses
Université Joseph-Fourier - Grenoble I (27/10/2008), Charles Payan (Dir.)
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Le graphe comme outil pour enseigner la preuve et la modélisation
Léa Cartier1

La raison initiale du sujet de cette thèse est l'introduction, pour la première fois en France, d'éléments de théorie des graphes dans un curriculum de l'enseignement secondaire, à savoir celui de la spécialité mathématiques de la Terminale économique et sociale (ES) en 2002.
Après une brève étude historique de la genèse – relativement récente – du graphe en tant que concept mathématique et de la signification épistémologique de cette genèse, nous analysons les choix faits pour la transposition de ce concept, en particulier les énoncés proposés aux élèves, qui montrent le décalage entre les intentions affichées et la réalité. Cette partie du programme de terminale ES se particularise par sa mise en œuvre « axée sur le seule résolution de problèmes ».
Or, nous montrons que les manuels scolaires sont dans ce chapitre composés d'exercices et non de problèmes. L'enseignement de théorie des graphes, s'il se limite à la résolution, locale, de ces exercices ou de « casse-tête » mathématiques, ne permet pas aux élèves de comprendre les concepts mathématiques sous-jacents ni surtout d'accéder au sens du raisonnement mathématique (en particulier autour de la modélisation et de la preuve) et à la richesse de la démarche scientifique, ce qu'aurait dû permettre ce domaine facilement abordable des mathématiques.
Une étude théorique et expérimentale du problème de « parcours eulériens dans les graphes » a ensuite été menée, du primaire au supérieur, sous des formes différentes (situations-recherche en classe avec ou sans support matériel, étude de documents). Des éléments didactiques ont aussi été tirés de deux stages de formation d'enseignants en théorie des graphes pour la Terminale ES.
Ces différentes études nous ont conduit à proposer un nouvel ensemble organisé de problèmes à destination des enseignants de Terminale ES, accompagnés de leur résolution et d'analyses didactiques qui attestent que des mathématiques plus consistantes peuvent être abordées et construites sur ce thème.
1 :  IF - Institut Fourier
Didactique des mathématiques – Situations-recherche en classe – Théorie des graphes – Preuve – Modélisation – Formation d'enseignants – Parcours eulériens dans les graphes – Ponts de Königsberg

Graph as a tool for teaching proof and modeling
In 2002, elements of graph theory entered the curriculum of Terminale ES (12th grade) in France. We first sketch a brief history of the genesis of the notion of graph (Chapter 1). We then study the way graphs entered the French high school curriculum, its transposition and realization, in particular through the study of the exercises that are proposed in the textbooks (Chapter 2). A specificity of this part of the curriculum lies on the fact that its implementation is to be based on problem-solving activities only. We demonstrate that textbooks actually never propose real problems, but only exercises. Furthermore, we discuss the dangers and drawbacks of restricting oneself to the resolution of exercises or “mathematical puzzles” only, in the sense that local resolutions do not necessary yield to the underlying mathematical concepts. In Chapter 3 we propose experimental studies on the eulerian trail problem, with learners ranging from primary school pupils to undergraduate students, and several kinds of implementations (classroom problem-solving activities, document study). We relate in details two classes with math teachers about graph theory in Terminale ES. Finally, we present in Chapter 4 a set of problems (with solutions) covering the curriculum of Terminale ES, intending to demonstrate that solid mathematics could be addressed on that occasion.    

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